Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 23.Exercícios - Ex. 71
Duas esferas plásticas, cada qual com carga uniformemente distribuída em seu interior, inicialmente são colocadas em contato e depois liberadas. Uma esfera tem de diâmetro, possui massa de e contém de carga. A outra esfera tem de diâmetro, possui massa de e contém de carga. Encontre a aceleração máxima e a velocidade escalar máxima atingidas por cada esfera (em relação ao ponto fixo de sua localização inicial no espaço), considerando que nenhuma outra força atue sobre elas. (Dica: as cargas uniformemente distribuídas se comportam como se estivessem concentradas nos centros das duas esferas.)
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa questão juntos!
Para não ficarmos perdidos vamos chamar a esfera de de e a de de .
Para encontrarmos a aceleração das esferas podemos usar a segunda lei de Newton ao nosso favor, já que:
A força que atua nas partículas é a mesma, dada por:
Essa aceleração máxima ocorre logo após as esferas serem liberadas já que a força cai por um fato de .
Agora para achar a velocidade máxima dessas partículas, vamos usar a conservação de momento e de energia ao nosso favor.
A conservação de energia é da seguinte forma:
Onde já que elas partem do repouso e , já que elas estão muito afastadas e a energia potencial caiu a zero, então:
Onde a energia potencial é a elétrica entre as partículas, assim:
Então a partir disso podemos achar e usando que:
Podemos achar uma relação entre as velocidades a partir da conservação de momento, onde temos que o momento inicial é zero, assim:
Agora podemos ir fazer as contas!
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a aceleração máxima, temos:
Para a esfera 1 temos que:
Então temos que:
Agora para a esfera 2, temos:
Então temos que:
E como a gente viu no passo essa aceleração é máxima logo após o lançamento.
Passo 3
Agora vamos atrás das velocidades, da conservação de energia, temos que:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Então temos que:
Passo 4
Agora que temos a energia cinética final do sistema, podemos encontrar as velocidades que queremos, temos que:
Usando a relação que chegamos no passo entre e , ficamos com:
Então temos que:
Substituindo os valores que temos, ficamos com:
Passo 5
Agora usando a relação da conservação de momento, temos:
Substituindo o valor de , temos:
Essas velocidades máximas ocorrem depois de um longo tempo, já que toda a energia potencial elétrica inicial foi transformada em energia cinética.