48 - Para uma frequência ω 1 , a reatância de um certo capacitor é igual à reatância de um certo indutor.

  1. Se a frequência variar para ω 2 = 2 ω 1 , qual deverá ser a razão entre a reatância do indutor e a reatância do capacitor? Qual das duas reatâncias é a mais elevada?
  2. Se a frequência variar para ω 3 = ω 1 / 3 , qual será a razão entre a reatância do indutor e a reatância do capacitor? Qual das duas reatâncias é a mais elevada?
  3. Se o capacitor e o indutor fossem conectados em série com um resistor de resistência R para formar um circuito R-L-C em série, qual seria a frequência angular durante a ressonância do circuito?

Passo 1

L e t r a   A :

Ora, pelo enunciado sabemos que a reatância indutiva e capacitiva são iguais, veja:

X l = X c

Como pela teoria, sabemos que essas reatâncias são definidas dessa forma aqui...

X l = ω 1 L             e                 X c = 1 ω 1 C

Então...

ω 1 L = 1 ω 1 C

Ora, se a gente duplicar ω 1 , basicamente a gente ganhará essas duas novas reatâncias aqui:

X ' l = 2 ω 1 L         e           X ' c = 1 2 ω 1 C

Ou seja, podemos falar que essas novas reatâncias se relacionam com as antigas dessa maneira aqui:

X ' l = 2 X l         e           X ' c = 1 2 X c     →

X l = X l ' 2           e           X c = 2 X c '

Como X l = X c ...

X l ' 2 = 2 X c '       →

Sendo a razão entre a reatância do indutor com a do capacitor a razão de X l ' / X c ' ...

X l ' X c ' = 4

Então a gente percebe que X l ' = 4 X c ' , ou seja...

X l ' > X c '

Passo 2

L e t r a   B :

Basicamente vamos fazer a mesma coisa agora só que considerando ω 1 / 3 agora...

X l = ω 1 L             e                 X c = 1 ω 1 C

X ' l = ω 1 3 L         e           X ' c = 3 ω 1 C

X ' l = X l 3         e           X ' c = 3 X c     →

X l = 3 X l '           e           X c = X c ' 3

Como X l = X c ...

3 X l ' = X c ' 3       →

Sendo a razão entre a reatância do indutor com a do capacitor a razão de X l ' / X c ' ...

X l ' X c ' = 1 9

Então a gente percebe que X l ' = X c ' / 9 , ou seja...

X l ' < X c '

Passo 3

L e t r a   C :

Poxa, por definição a gente pode encontrar a frequência angular de ressonância fazendo essa igualdade aqui:

X l = X c     →

E como vimos no passo 1 :

ω 1 L = 1 ω 1 C   →

ω 1 = 1 L C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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