Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas desafioadores - Ex. 78
78. Duas bobinas possuem enrolamentos semelhantes aos indicados na Figura . As correntes circulam com o mesmo sentido através das espiras das duas bobinas. Uma bobina apresenta auto-indutância e a outra possui auto-indutância . A indutância mútua das bobinas é igual a . Mostre que, se as duas bobinas são ligadas em série, a indutância equivalente da combinação é dada por . Mostre que, se as duas bobinas são ligadas em paralelo, a indutância equivalente da combinação é dada por
(Sugestão: veja a dica dada no Problema .)
Passo 1
Bem, tanto para o caso em série quando para o caso em paralelo temos que a indutância equivalente pode ser definida como:
Mas por que eu falei disso?
Então, é mais fácil ver como se comporta no caso em série e no caso paralelo.
No caso em série, temos que:
E no caso paralelo temos:
Como cada indutor tem uma auto-indutância e uma indutância mútua, então para cada um deles, temos:
Então para o caso em série.
Para o caso em paralelo.
Outra coisa falada na sugestão do enunciado, que na verdade é a do Problema , foi como a corrente se comporta na ligação paralela, a em série é mais tranquila de saber é a mesma em todos os pontos.
Para ligação em série:
Para ligação em paralelo:
Passo 2
Vamos então analisar o caso da ligação em série com o que sabemos. Temos duas principais informações que são:
Aplicando a primeira informação na segunda, temos:
Dividindo tudo por , temos:
Passo 3
Vamos então analisar o caso da ligação em paralelo com o que sabemos. Temos duas principais informações que são:
Da segunda informação podemos tirar as seguintes igualdades:
Agora vamos fazer o seguinte, vamos chamar
Com isso ficamos com o seguinte:
Agora vamos mexer com essas expressões que tem umas notações mais fáceis de manipular do que aqueles .
Passo 4
Agora vamos igualar as equações que encontramos no passo anterior, temos:
Agora da seguinte equação
Temos que:
Com isso temos que:
Isolando ficamos:
Então como sabemos que:
Logo:
Passo 5
Agora que temos expressões para e podemos voltar a uma das seguintes equações:
Tanto faz qual você escolher o lance é que quando substituirmos e os vão sumir e teremos uma expressão para . Agora vamos substituir na primeira equação, temos:
Então temos que:
Mas ainda não tá exatamente iguala o do enunciado, para isso basta multiplicar por encima e embaixo e com isso encontramos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)