Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 14º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 78
Uma longa rampa fabricada em ferro fundido é inclinada a um ângulo constante acima da horizontal. Blocos pequenos, cada um com massa de , mas fabricados de materiais diferentes, são lançados do repouso a uma altura vertical acima da base da rampa. Em cada caso, o coeficiente de atrito estático é tão pequeno que os blocos começam a deslizar rampa abaixo assim que são lançados. Você deverá determinar de modo que cada bloco tenha uma velocidade de quando atingir a base da rampa. Você conhece estes coeficientes de atrito de deslizamento (cinético) para diferentes pares de materiais:
Use as considerações de trabalho e energia para achar o valor necessário de se o bloco for feito de ferro fundido; cobre; zinco. Qual será o valor exigido de h para o bloco de cobre se sua massa for dobrada para ? Para determinado bloco, se for aumentado enquanto é mantido igual, a velocidade do bloco na base da rampa aumenta, diminui ou permanece a mesma?
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve esse!
O segredo desse problema é usar a conservação de energia ao nosso favor, mas temos que nos atentar que nesse sistema temos uma força dissipativa (força de atrito) que realiza trabalho, então temos que:
Segundo o enunciado temos que o bloco parte do repouso, logo e considerando o zero de energia potencial na parte mais baixa da rampa, temos que , assim:
A partir disso vamos encontrar o que o enunciado pede, como a altura do bloco para caso em e a altura para o caso do item e como a velocidade se comporta em relação ao ângulo pedido em .
Passo 2
Primeiro vamos chegar na expressão para o trabalho dissipado pela força de atrito, temos que o trabalho é dado por:
No nosso caso é a força de atrito cinético que é dada por:
Mas como a rampa está inclinada de um ângulo , temos que a componente de que está na direção da rampa é dado por:
Então temos que:
Mas como a força de atrito é uma força dissipativa, temos que:
O enunciado não nos diz a distância percorrida pelo bloco na rampa, mas podemos usar a trigonometria ao nosso favor.
Considerando como sendo a hipotenusa do triangulo formado com a rampa e o cateto oposto, temos que:
Então temos que:
Passo 3
Começando com o item vamos encontrar uma expressão para altura .
Agora isolando , temos:
Essa expressão vai valer para todos os casos, o que vai mudar vai ser o valor de
Passo 4
Para o caso , bloco de ferro fundido, temos que , assim:
Assim temos que:
Para o caso , bloco de cobre, temos que , assim:
Assim temos que:
Para o caso , bloco de zinco, temos que , assim:
Assim temos que:
Passo 5
O item quer saber o valor de para o cobre se a massa for dobrada, mas em nenhum momento nas contas do item precisamos usar a massa, já que ela foi cortada quando estávamos desenvolvendo a expressão para .
Então o valor de se mantem o mesmo de .
Passo 6
Agora vamos analisar o item .
A expressão que temos para é a seguinte:
Se aumentarmos o valor de temos que também aumenta, logo o fator diminuí, se esse cara diminui o termo entre parênteses aumenta.
Então para permanecer constante a velocidade deve aumentar também.
Resposta
A velocidade aumenta.