Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 71
71. Um objeto quadrado de massa é formado de quatro varetas finas idênticas, todas de comprimento , amarradas juntas. Esse objeto é pendurado em um gancho pelo seu canto superior (Figura ). Se ele for girado levemente para a esquerda e depois solto, em que frequência ele irá oscilar para frente e para trás?
Passo 1
Nesse problema temos um caso de pêndulo físico, assim, também temos uma fórmula para encontrarmos a frequência, que é:
Vamos olhar um pouco essa fórmula, pois tem parâmetros que não são fáceis de se achar.
Temos que é a massa total do objeto, que é a soma da massa das quatro barras, então:
O parâmetro é a distância do ponto onde o objeto está preso até o centro de massa do objeto que se encontra no meio do quadrado, já que a distribuição de massa é uniforme, assim:
Temos também o momento de inércia , que teremos que usar o teorema dos eixos paralelos, que tem a seguinte expressão
Onde é momento de inércia que já conhecemos do objeto em relação a um eixo que seja paralelo em relação ao eixo no qual que queremos saber o momento de inércia.
Nesse problema, teremos que aplicar esse teorema para cada bastão, para saber o momento de inércia deles em relação ao centro de massa, sabendo de um bastão basta multiplicar por que saberemos o momento do conjunto todo em relação ao centro de massa.
Quando tivermos essa informação, vamos usar o teorema acima mais uma vez em relação ao eixo onde o quadrado está preso.
Passo 2
Vamos então primeiro encontrar o momento de inércia de um dos bastões em relação ao centro de massa do quadrado, temos:
Onde é o momento em relação a um eixo que passa no meio do bastão, que é:
Temos que é a distância do eixo que passa pelo meio do bastão e o eixo que passa pelo centro de massa, assim:
Assim, nossa fórmula fica assim:
Então os dos bastões juntos é:
Passo 3
Agora vamos usar o teorema mais uma vez para achar o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo ponto em que o quadrado está preso, temos então:
O nesse caso vai ser a distância entre o eixo que passa pelo ponto em que o quadrado está preso e em relação ao centro de massa, assim:
O é a massa das quatro barras, assim .
O é o momento que achamos no item anterior, então ficamos com:
Então:
Passo 4
Agora podemos voltar a fórmula da frequência que vimos no passo , temos:
Substituindo o que sabemos, ficamos com:
Simplificando mais um pouco, temos:
Temos então que: