Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 91
91. Uma barra metálica delgada e homogênea de massa possui um pivô em seu centro por onde passa um eixo perpendicular à barra. Uma mola horizontal cuja constante é possui uma extremidade presa na parte inferior da barra e sua outra extremidade está rigidamente presa a um suporte. Quando a barra é deslocada formando um pequeno ângulo com a vertical (Figura ) e libertada, mostre que a oscilação é um movimento harmônico angular e calcule seu período. (Sugestão: Suponha que o ângulo seja suficientemente pequeno para que as relações e sejam aproximadamente válidas. O movimento é harmônico simples quando e o período é então dado por .)
Passo 1
Nessa situação apresentada pelo enunciado, o sistema sore um troque devido a força elástica da mola, então temos que:
Onde é a força elástica da mola dada por:
Onde é de quando a mola foi estica ou comprimida, pela figura do enunciado, podemos ver que .
E é a distância da aplicação da força até o eixo de rotação, que é , assim:
Fazendo a aproximação sugerida pelo enunciado, temos:
Passo 2
Agora, uma coisa a se notar é que a barra quase que realiza um movimento circular, então também podemos escrever o torque como:
Onde o momento de inércia dessa barra em relação ao eixo de rotação, que é o mesmo eixo que passa pelo centro de massa, logo esse momento é tabelado de forma que:
E temos que é aceleração angular que pode ser escrita como:
Então nosso torque, é dado por:
Passo 3
Agora vamos igualar as duas expressões que achamos para o torque e isolar o termo , assim:
O enunciado fala que temos um , quando , comparando as duas expressões, temos que:
Assim temos que esse movimento é harmônico simples.
Sabendo que em um o período pode ser escrito com:
Temos então que:
Assim:
Resposta
O movimento é harmônico simples, tendo o período dado por: