Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 73
73. Um balde massa igual a contendo de água está pendurado em uma mola vertical ideal de constante e oscilando para cima e para baixo com uma amplitude igual a . De repente, surge um vazamento no fundo do balde de tal modo que a água escoa à taxa constante de . Quando o balde estiver cheio até metade, ache o período de oscilação e a taxa em que o período está variando em relação ao tempo. O período está aumentando ou diminuindo? Qual é o período mais curto que esse sistema pode ter?
Passo 1
Primeiro para encontrar o período, podemos usar a equação que normalmente é usada para se achar o período de um , que é:
Mas a situação pedida no item é quando o balde está cheio pela metade, nisso a massa que temos na fórmula é a soma da massa do balde com a massa da metade da água que tínhamos originalmente, logo metade da massa de água, assim:
Para a achar a taxa no qual o período está variando, basta derivar a equação do período em relação ao tempo, mas como fazer isso se não temos o tempo presente na equação?
Para resolver isso, vamos usar a informação que o enunciado nos dá sobre a taxa de variação da massa do balde que é é na massa que temos o tempo presente de forma indireta, temos:
Então para achar a variação do período, basta fazer
Depois verificar se essa taxa é positiva ou negativa, para saber se o período está crescendo ou diminuindo, mas pela equação do período já dá para ter uma noção de que vai diminuir, já que é diretamente proporcional a .
O menor período possível vai ser quando toda a água sair e só sobrar o balde balançando com seus , aí basta usar a fórmula do período de novo.
Passo 2
Vamos achar o período do balde quando ele está cheio pela metade, temos a seguinte fórmula:
Substituindo os valores que sabemos, temos:
Temos então que:
Passo 3
Agora vamos derivar a equação do período em relação a , temos a seguinte equação:
Derivando:
Assim:
Graças ao enunciado, sabemos que:
Então:
Substituindo os valores de e , temos:
Assim o período diminui por segundo.
Passo 4
Como foi dito no passo o menor período possível é quando o balde estiver completamente vazio, como foi visto no passo anterior o período diminui com o tempo por conta da massa diminui com o tempo.
Então vamos usar a equação do período somente com a massa do balde, assim:
Substituindo o que sabemos, temos:
Então temos que:
Resposta
O período está diminuindo.