99. Mola com massa. Em todos os problemas anteriores desse capítulo consideramos molas com massas desprezíveis. Porém, é claro que toda mola possui alguma massa. Para estudar o efeito da massa da mola, considere uma mola de massa , comprimento de equilíbrio e constante . Quando ela é comprimida ou esticada até atingir um comprimento , a energia potencial é , onde . Considere uma mola como descrito anteriormente, porém, com uma extremidade fixa e a outra se deslocando com velocidade . Suponha que a velocidade ao longo dos pontos do comprimento da mola varie linearmente com a distância a parti da extremidade fixa. Suponha também que a massa da mola seja distribuída uniformemente ao longo do comprimento da mola. Calcule a energia cinética da mola em termos de e . (Sugestão: Divida a mola em pedaços de comprimento ; ache a velocidade de cada pedaço em termos de e ; calcule a massa de cada pedaço em termos de e e integre de até . O resultado não é , visto que a mola não se move com a mesma velocidade em todas as partes.) Tome a derivada em relação ao tempo da lei da conservação da energia, Equação , para um corpo de massa preso a uma mola sem massa. Comparando os resultados que você obteve com a Equação que definiu , mostre que a frequência angular da oscilação é . Aplique o procedimento indicado na parte para obter a frequência angular da oscilação da mola considerada na parte . Se a massa efetiva da mola for definida por , como se escreve em termos de ?

Vamos encontrar agora a energia cinética da mola com massa, temos:

Substituindo com o que temos do passo , ficamos com:

Agora integrando dos dois lados, temos:

Então temos que:

A fórmula da conservação energia mecânica é dada por:

Derivando os dois lados temos:

Sabendo que:

E

Então nossa expressão fica:

Dividindo os dois lados por , temos:

Vamos isolar a aceleração, então:

Se compararmos com a equação , dada por:

Então é possível concluir que:

Agora vamos fazer o mesmo processo do passo anterior de derivar a energia, mas agora no lugar da energia cinética vamos colocar o que encontramos no item , já que a mola agora tem massa. Então:

Derivando os dois lados temos:

Sabendo que:

E

Então nossa expressão fica:

Dividindo os dois lados por , temos:

Vamos isolar a aceleração, então:

Então é possível concluir que:

Para a massa efetiva da mola, como é fado no enunciado, temos:

Para a massa efetiva da mola, como é fado no enunciado, temos:

Isolando a massa nessa fórmula, temos:

Isolando a massa na fórmula que encontramos no passo anterior, temos:

Comparando as duas, temos que: