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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 19

A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x y é dada por a →   = 3 t i →   +   4 t j → , onde a → está em metros por segundo ao quadrado e t   em segundos. Em t   = 0 , o vetor posição r →   =   20 ,   0   m i →   +   40 ,   0   m j →   indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade v → =   5,00 m s i →   + 2,00 m s j → . Em t   =   4,00   s , determine (a) o vetor posição em termos dos vetores unitários e (b) o ângulo entre a direção do movimento e o semieixo x positivo.

Passo 1

Alerta de spoiler: usaremos integrais nesse exercício, mas fiquem tranquilos que vai ser de boa!!

Para encontrarmos o vetor posição para t = 4,00 s primeiro precisaremos calcular o vetor da velocidade v → t e do deslocamento r → t . Como faremos isso???

Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em função do tempo, sendo assim , a velocidade (em m / s ) é dada por:

v → = v → 0 + ∫ 0 t a → . d t

Substituindo os valores:

v → = 5   m/s i → + 2   m/s j → + ∫ 0 t ( 3 t i → + 4 t j → )   d t

Calculando a integral, temos que:

v → =   5 i → + 2 j → + 3 t 2 2 i → + 2 t 2 j →

Arrumando os fatores i → e j → :

v → = 5 + 3 t 2 2 i → + 2 + 2 t 2 j →

Passo 2

Sabemos também que a velocidade é a derivada do deslocamento em função do tempo. Logo, o deslocamento, por sua vez, é dado por:

r → t = r → 0 +   ∫ 0 t v → . d t

Substituindo os valores:

r → t = 20   m   i → + 40   m   j → + ∫ 0 t 5 + 3 t 2 2 i → + 2 + 2 t 2 j → d t

Resolvendo a integral:

r → t = 20 i → + 40 j → + 5 t + t 3 2 i → + 2 t + 2 t 3 3 j →

Arrumando os fatores i → e j → , temos:

r → t = 20 + 5 t + t 3 2 i → + 40 + 2 t + 2 t 3 3 j →

Show de bola?!

Passo 3

(a) Beleza, galera. Agora tudo fica mais fácil!!! Só precisamos substituir o valor dado pelo exercício!

r → = 20 + 5 t + t 3 2 i → + 40 + 2 t + 2 t 3 3 j →

Em t = 4 s :

r → 4   s = 20 + 5 ⋅ 4 + 4 3 2 i → + 40 + 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 3 3 j →

Assim:

r → 4 = 72 i → +   90,7 j →

Passo 4

Podemos achar a velocidade em t = 4   s   da mesma forma:

v → = 5 + 3 t 2 2 i → + 2 + 2 t 2 j →

Substituindo os valores:

v → 4 = 29   m/s   i → + 34   m/s   j →

Passo 5

(b) Pra finalizar, podemos achar o ângulo entre a direção do movimento e o semieixo x   positivo através da fórmula:

θ = tan - 1 ⁡ 34 29

θ = 49,5 °

Resposta

  1. r → 4 = 72 i → +   90,7 j →
  2. θ = 49,5 °

Tranquilo pessoal??? Bora fazer mais questões então!!!!

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