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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 74

Um anel uniformemente carregado tem um raio a , está um plano horizontal e tem carga negativa - Q . Uma pequena partícula está localizada no eixo do anel. (a) Qual é o mínimo valor de q / m tal que a partícula esteja em equilíbrio sob a ação da gravidade e da força eletrostática? (b) Se q / m for o dobro do valor calculado na parte (a), onde estará a partícula quando ela estiver em equilíbrio? Expresse sua resposta em termos de a .

Passo 1

Beleza, minha gente? Então, nesse exercício vamos usar a expressão do campo elétrico para um anel. Suponha que estamos no eixo de simetria do anel, a uma distância z do centro. A expressão do campo elétrico é:

E = k Q z z 2 + a 2 3 / 2

Passo 2

  1. A força elétrica será dada por

F = q E = k Q q ⋅ z z 2 + a 2 3 / 2

Assim, para que haja o equilíbrio, temos

m g = F m g = k Q q ⋅ z z 2 + a 2 3 / 2 q m = g k Q ⋅ z 2 + a 2 3 / 2 z

Como queremos o mínimo valor de q / m , vamos tentar minimizar a função

f z = z 2 + a 2 3 / 2 z

Lembre-se que para obter o valor mínimo de uma função devemos derivar:

f ' z = 3 z 2 z 2 + a 2 1 2 - z 2 + a 2 3 2 z 2 = 3 z 2 - z 2 + a 2 z 2 z 2 + a 2 1 / 2 f ' z = z 2 + a 2 1 2 z 2 2 z 2 - a 2 = 0

ou seja,

z = 1 2 a

Dessa forma, o menor valor de q / m será:

q m = g k Q ⋅ a 2 2 + a 2 3 2 2 a = 27 g a 2 2 k Q

Passo 3

Temos que

q m = 2 × 27 g a 2 2 k Q = g k Q ⋅ z 2 + a 2 3 2 z 27 z a 2 = z 2 + a 2 3 2 27 z a 2 = z 2 + a 2 3

Resolver essa equação na mão não é nada fácil.... por isso, vamos usar um software para resolver essa equação. Obtemos:

z = - 0,205 a

z = - 1,90 a

Observe que devemos tomar z < 0 pois a força da gravidade é para baixo, de modo que a força elétrica deve estar para cima.

Resposta

  1. 27 g a 2 2 k Q
  2. z = - 0,205 a ou z = - 1,90 a .
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