Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 19
19. Uma massa oscilando em uma mola tem o deslocamento em função do tempo dado pela equação
Encontre o tempo de uma vibração completa; a constante da mola; a velocidade máxima da massa; a força máxima sobre a massa; a posição, velocidade e aceleração da massa em ; a força sobre a massa nesse instante.
Passo 1
Vamos então analisar a função fornecida pelo enunciado. A forma mais geral dessa função é a seguinte:
Comparando as duas funções é possível obter as seguintes informações.
E que:
Para encontramos o valor do período com as informações que temos, podemos usar a equação
Como já sabemos o valor de , fica fácil de encontrar .
Para acharmos a velocidade máxima, vamos usar a seguinte equação:
Então, para encontramos o valor , precisamos lembrar da seguinte relação:
Assim, isolando , ficamos com:
A força máxima podemos achar utilizando a fórmula da força elástica.
Lembrando que a força máxima ocorre quando o corpo se encontra na amplitude da oscilação, então:
Agora, para achar a posição, velocidade e aceleração no instante , vamos usar a função já fornecida pelo enunciado
Para a posição, para a velocidade basta usar a seguinte função
Basta substituir o que conhecemos na função.
Para aceleração, como já teremos achado a posição, podemos usar a seguinte fórmula:
Agora, o último item a ser encontrado, que é a força máxima no instante , já que sabemos a massa do objeto, basta usar a segunda lei de Newton utilizando a aceleração encontrada nesse instante.
Passo 2
Agora vamos achar quanto vale , já que sabemos que:
Assim, ficamos com:
Passo 3
Agora vamos achar o valor de , basta usar a seguinte fórmula mostrada no passo .
Passo 4
Vamos então agora achar a velocidade máxima, lembrando da fórmula:
Como já temos o valor de e , basta substituir na fórmula acima.
Passo 5
Agora podemos calcular a força máxima. Lembrando o que foi falado no passo , temos:
Passo 6
Agora já temos tudo que precisamos para encontrar a posição, velocidade e aceleração em . Vamos começar com a posição, temos:
Agora vamos encontrar a velocidade, primeiramente temos:
Então para temos:
Agora só falta a aceleração, e pela fórmula mencionada no passo , temos:
Sabendo que em temos que
Temos então:
Passo 7
Finalmente o último item, vamos achar a força máxima em , como já sabemos quanto vale a aceleração nesse ponto, podemos usar a forma mencionada no passo .