13.6. Em um laboratório de física, você liga um planador de um trilho de ar com 0,200   k g à extremidade de uma mola ideal com massa desprezível e inicia uma oscilação. O tempo decorrido entre o instante em que o cavaleiro ultrapassa a posição de equilíbrio e a segunda vez que ele ultrapassa esse ponto é igual a 2,60   s . Calcule o valor da constante da mola.

Passo 1

Bom a gente precisa calcular a constante da mola. E nós sabemos duas equações que definem a aceleração de um objeto num movimento harmônico simples são:

a =   - k   . x m

Onde:

  • k é a constante da mola;
  • x   é a posição do objeto e
  • m é a massa do objeto.

A outra equação que conhecemos relaciona a frequência do movimento ω :

a =   -   ω 2   .   x

Então se nós igualarmos as duas equações para não dependermos mais da aceleração escalar do objeto:

a =   - k   . x m = -   ω 2   .   x  

Nós chegaremos na equação

k = ω 2 m

Passo 2

Mas vamos lembrar quem é a nossa frequência, ela é dada pela equação:

ω = 2 π T

Onde T é o período do movimento.

Então substituindo essa expressão na equação da constante elástica da mola anterior, teremos:

k = 2 π T 2 m

Mas você me pergunta, cadê esse período pra usarmos no cálculo? Vamos calcular ele agora mesmo!

Passo 3

A máquina está em movimento harmônico simples. Quer dizer que o tempo que ele leva para passar duas vezes pela posição de equilíbrio é a metade do período. Então:

t = T 2

Ele nos diz no enunciado que o tempo que leva para o cavaleiro passar pela posição de equilíbrio e passar novamente é igual a 2,60s, vamos substituir esse valor na equação:

2,60 = T 2

E, portanto, o período é igual a:

T = 5,2   s

Passo 4

Agora é só substituir os valores na equação:

k = 2 π T 2 m

O período é igual a 5,2s e a massa m é igual a 0,200kg:

k = 2 π 5,2 2 0,2

Fazendo essa conta

k = 0 , 29 N m

Prontinho, chegamos na resposta que queríamos!

Resposta

k = 0 , 29 N m

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