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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 37.6 - Ex. 52

Aplique o teorema binomial (Apêndice E) ao lado esquerdo da Eq. 37-52, usada para calcular a energia cinética de uma partícula. (a). Conserve os primeiros dois termos da expansão para mostrar que a energia cinética pode ser escrita na forma aproximada

K = p r i m e i r o   t e r m o + s e g u n d o   t e r m o .

O primeiro termo é a expressão clássica de energia cinética; o segundo é a correção de primeira ordem da expressão clássica. Suponha que a partícula é um elétron. Se a velocidade v do elétron é c / 20 , determine o valor (b) da expressão clássica e (c)

Da correção de primeira ordem. Se a velocidade do elétron é 0,80 c , determine o valor (d) da expressão clássica e (e) da correção de primeira ordem. (f) Para que parâmetro de velocidade β a correção de primeira ordem é igual a 10 % do valor da expressão clássica?

Passo 1

O teorema binomial é uma expansão definida como

1 + x n = 1 + n x + n n - 1 x 2 2 ! + n n - 1 n - 2 x 3 3 ! + …

E a energia cinética de uma partícula é dada por

m c 2 γ = m c 2 + K → K = m c 2 γ - 1

Onde

γ = 1 1 - β 2 = 1 - β 2 - 1 2

Passo 2

  1. Aplicando o teorema binomial, temos

    2. 1 - β 2 - 1 2 = 1 + 1 2 β 2 - 1 2 - 3 2 β 4 2   + 1 2 - 3 2 - 5 2 β 6 6 + …

    Assim temos que a energia cinética será

    K = m c 2 β 2 2 + β 4 8 + … = m v 2 2 + m v 4 8 c 2 + …

    Passo 3

  2. Onde o primeiro termo é a expressão clássica da energia cinética e o segundo termo são as correções.

    3. Fazendo correções clássicas, temos

    β ≪ 1 → β n = 0 ,   n > 4

    Logo a energia cinética se resume a

    K c l á s s i c a = m c 2 β 2 2 = 8,19 × 10 - 14 1 20 2 2 = 1,0 × 10 - 16 J

    Passo 4

  3. A correção de primeira ordem é dada por

    4. K p r i m e i r a   o r d e m = 3 m c 2 β 4 8 = 3 8,19 × 10 - 14 1 20 4 8 = 1,9 × 10 - 19 J

    Que é muito menor que o resultado clássico

    Passo 5

  4. Se agora tomarmos que β = 0,8 = 4 / 5

    5. K c l á s s i c a = m c 2 β 2 2 = 8,19 × 10 - 14 0,8 2 2 = 2,6 × 10 - 14 J

    Passo 6

  5. A correção de primeira ordem é dada por

    6. K p r i m e i r a   o r d e m = 3 m c 2 β 4 8 = 3 8,19 × 10 - 14 0,8 4 8 = 1,3 × 10 - 14 J

    O que agora já não se torna irrelevante quanto anteriormente.

    Passo 7

  6. Queremos um valor para β tal que a correção de primeira ordem seja 10 % do valor clássico. Assim sendo temos que

3 m c 2 β 4 8 = 0,1 m c 2 β 2 2 → 3 β 2 2 = 1 5 → β = 2 15 = 0,37

Resposta

(b) 1,0 × 10 - 16 J

(c) 1,9 × 10 - 19 J

(d)   2,6 × 10 - 14 J

(e) 1,3 × 10 - 14 J

(f) 0,37

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