Uma bala de canhão é disparada com uma rapidez inicial v 0 a um ângulo de 30° acima da horizontal, de uma altura de 40 m acima do chão. O projétil chega ao chão com uma rapidez de 1,2 v 0 . Encontre v 0 . (Ignore a resistência do ar.)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O movimento descrito no enunciado está representado na figura abaixo:

Podemos expressar as componentes da velocidade por:

v 0 x = v x = v 0 cos ⁡ θ 0

v 0 y = v 0 sin ⁡ θ 0

Como temos informações sobre altura e velocidade, mas não nos é informado nada sobre o tempo do movimento, podemos aplicar Torricelli:

v y 2 = v 0 y 2 + 2 - g - h

v y 2 = v 0 sin ⁡ θ 0 2 + 2 g h

Sabemos que:

v 2 = v x 2 + v y 2

Logo:

v y 2 = v 2 - v x 2

v y 2 = 1,2 v 0 2 - v 0 cos ⁡ θ 0 2

Substituindo:

v 0 sin ⁡ θ 0 2 + 2 g h = 1,2 v 0 2 - v 0 cos ⁡ θ 0 2

v 0 sin ⁡ θ 0 2 + v 0 cos ⁡ θ 0 2 = 1,2 v 0 2 - 2 g h

v 0 2 ⋅ sin 2 ⁡ θ 0 + cos 2 ⁡ θ 0 = 1,44 v 0 2 - 2 g h  

Sabemos que, sin 2 ⁡ θ 0 + cos 2 ⁡ θ 0 = 1 , portanto:

1,44 v 0 2 - 1 v 0 2 = 2 g h

v 0 2 = 2 g h 0,44

v 0 = 2 g h 0,44

Substituindo os valores, temos:

v 0 = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 40 0,44

v 0 = 42   m / s

Resposta

v 0 = 42   m / s

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