Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 14.Exercícios e Problemas - Ex. 8
. A barra fina vista na Figura , cm comprimento e massa , oscila como um pêndulo em torno de um eixo à distância da sua extremidade superior. Escreva a lagrangeana do pêndulo. Calcule a sua frequência natural.
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa questão!
Para escrever a Lagrangeana do sistema temos que saber a energia cinética e potencial desse sistema, já que:
Para descrever o problema vamos usar a coordenada generalizada , que é o ângulo de inclinação da barra, já que só com ela conseguimos descrever a posição do pêndulo.
Como o movimento da barra é oscilatório de forma a descrever um movimento circular, temos que a energia cinética é a de rotação, que tem a seguinte forma:
Nesse caso só temos a energia potencial gravitacional presente, que é da seguinte forma:
Onde é a posição do centro de massa, então temos que escrever essas equações em termos da nossa coordena generalizada .
Para achar a frequência de oscilação desse pêndulo, teremos que escrever a equação de Lagrange para a coordenada e analisar o que temos, a equação de Lagrange é da seguinte forma:
Vamos ao trabalho!
Passo 2
Primeiro vamos mexer com a energia cinética, temos o seguinte:
Onde é a velocidade angular, então temos que , temos que é momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação.
Para achar esse momento de inércia teremos que usar o teorema dos eixos paralelos, que tem a seguinte cara:
Onde que é o momento de inércia da barra em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e é a distância entre o eixo de rotação e o eixo que passa pelo centro de massa, assim:
Então juntando tudo, temos:
Passo 3
Sabendo disso temos que a energia cinética é dada por:
Então temos que:
Passo 4
Agora vamos mexer com a energia potencial, temos o seguinte:
Onde é a posição do centro de massa em relação ao eixo de rotação na vertical, assim:
Com isso temos que:
Então a Lagrangena fica da seguinte forma:
Passo 5
Agora vamos escrever a equação de Lagrange para . Vamos calcular cada parte da equação separadamente depois juntamos tudo.
Primeiro vamos calcular , temos:
Agora vamos calcular , então:
Agora por último , temos:
Juntando tudo temos:
Passo 6
Para termos uma visão melhor do que temos em mãos, vamos considerar o regime de pequenos ângulos, assim:
Assim temos que:
Essa equação é do mesmo tipo que a equação que descreve um oscilador harmônico, então temos que a frequência angular desse pêndulo é dada por:
E usando que , temos que a frequência de oscilação é:
E com isso terminamos essa questão!