Calcule a frequência f n de oscilação vertical do sistema apresentado. A polia de 40   kg tem um raio de giração em relação ao seu centro O de 200   mm .

Passo 1

Uma polia sustentando uma massa é presa a uma parede fixa por uma corda e uma mola.

Dados da questão:

  • Massa sendo sustentada: 30   kg .
  • Massa da polia: 40   kg .
  • Raio da polia: r = 300   mm .
  • Raio de giração da polia em relação ao centro O : k O = 200   mm .
  • Rigidez da mola: k = 2   kN/m .

Queremos a frequência f n para a oscilação vertical. Como o sistema é conservativo, vamos ver as energias nos extremos da oscilação para achar a frequência natural ω n e aí calcular f n = ω n / 2 π .

Passo 2

Achar a equação do movimento é bem fácil nessa questão se pensarmos em energia. Considere o movimento vertical y a partir de uma posição de equilíbrio em que a força elástica equilibra a força peso. Vamos analisar quando a energia cinética é máxima e quando a energia potencial é máxima.

A energia cinética vai ser máxima na posição de equilíbrio onde a aceleração é zero, quando toda a energia potencial foi transformada na energia cinética em alguma velocidade y ˙ m a x . Ela vai ser composta pela energia devido a translação (o conjunto descendo) mais a energia devido a rotação da polia:

K m a x = 1 2 40   kg + 30   kg y ˙ m a x 2 + 1 2 I - ω 2

Nessa expressão, ω é a velocidade angular e I - é o momento de inércia em.

K m a x = 1 2 70   kg ⋅ y ˙ m a x 2 + 1 2 40   kg ⋅ 0,2   m 2 ⋅ y ˙ m a x 0,3   m 2

K m a x = 43,9   kg ⋅ y ˙ m a x 2

Vamos ver agora para a energia potencial máxima.

Passo 3

Para a energia potencial, nós sempre temos que decidir primeiro um ponto referencial em que a energia potencial é zero. Vamos escolher como V = 0 o ponto em que a soma da energia potencial elástica e da energia gravitacional é zero (o equilíbrio!). Nós nem precisamos achar qual o y em que isso ocorre, basta sabermos que ele existe para esse problema e tomarmos ele como referência!

Aí fica bem fácil! A energia potencial máxima vai ocorrer em alguma altura y m a x que a polia tenha descido em relação ao equilíbrio.

Mas cuidado! A deformação da mola vai ser 2 y m a x , porque numa polia, as cordas sempre se movimento o dobro da polia. Veja a figura para uma polia qualquer.

O ponto vermelho tem que andar o y para descer, e aí subir mais y ! Então ele anda 2 y enquanto a polia anda y .

A expressão pra energia potencial máxima fica

V m a x = 1 2 k 2 y m a x 2

V m a x = 4000   N/m   y m a x 2

Agora vamos comparar essas expressões que calculamos.

Passo 4

Como a energia do problema se conserva, a energia potencial máxima (quando cinética é zero) tem que ter o mesmo valor da energia cinética máxima (quando potencial é zero).

43,9   kg ⋅ y ˙ m a x 2 = 4000   N/m   y m a x 2

O movimento é harmônico simples, então sabemos que y ˙ m a x = y m a x ω n . Substituindo e fazendo umas continhas, chegamos em

ω n = 9,55   rad/s

Usando f n = ω n / 2 π , temos finalmente que

f n = 1,519   Hz

Resposta

Frequência: f n = 1,519   Hz .

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