Enunciado
Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.5 - Ex. 107
Calcule a frequência de oscilação vertical do sistema apresentado. A polia de tem um raio de giração em relação ao seu centro de .
Passo 1
Uma polia sustentando uma massa é presa a uma parede fixa por uma corda e uma mola.
Dados da questão:
- Massa sendo sustentada: .
- Massa da polia: .
- Raio da polia: .
- Raio de giração da polia em relação ao centro : .
- Rigidez da mola: .
Queremos a frequência para a oscilação vertical. Como o sistema é conservativo, vamos ver as energias nos extremos da oscilação para achar a frequência natural e aí calcular .
Passo 2
Achar a equação do movimento é bem fácil nessa questão se pensarmos em energia. Considere o movimento vertical a partir de uma posição de equilíbrio em que a força elástica equilibra a força peso. Vamos analisar quando a energia cinética é máxima e quando a energia potencial é máxima.
A energia cinética vai ser máxima na posição de equilíbrio onde a aceleração é zero, quando toda a energia potencial foi transformada na energia cinética em alguma velocidade . Ela vai ser composta pela energia devido a translação (o conjunto descendo) mais a energia devido a rotação da polia:
Nessa expressão, é a velocidade angular e é o momento de inércia em.
Vamos ver agora para a energia potencial máxima.
Passo 3
Para a energia potencial, nós sempre temos que decidir primeiro um ponto referencial em que a energia potencial é zero. Vamos escolher como o ponto em que a soma da energia potencial elástica e da energia gravitacional é zero (o equilíbrio!). Nós nem precisamos achar qual o em que isso ocorre, basta sabermos que ele existe para esse problema e tomarmos ele como referência!
Aí fica bem fácil! A energia potencial máxima vai ocorrer em alguma altura que a polia tenha descido em relação ao equilíbrio.
Mas cuidado! A deformação da mola vai ser , porque numa polia, as cordas sempre se movimento o dobro da polia. Veja a figura para uma polia qualquer.
O ponto vermelho tem que andar o para descer, e aí subir mais ! Então ele anda enquanto a polia anda .
A expressão pra energia potencial máxima fica
Agora vamos comparar essas expressões que calculamos.
Passo 4
Como a energia do problema se conserva, a energia potencial máxima (quando cinética é zero) tem que ter o mesmo valor da energia cinética máxima (quando potencial é zero).
O movimento é harmônico simples, então sabemos que . Substituindo e fazendo umas continhas, chegamos em
Usando , temos finalmente que
Resposta
Frequência: .