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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 129

Um bastão uniforme tem comprimento L e massa M e pode girar livremente em torno de um eixo horizontal em uma de suas extremidades, como mostrado na figura. O bastão é largado do repouso em θ = θ 0 . Mostre que as componentes paralela e perpendicular da força exercida pelo eixo sobre o bastão são dadas por f = 1 2 M g 5 c o s θ - 3 c o s θ 0 e F = 1 4 M g s e n θ , onde f é a componente paralela à barra e F é a componente perpendicular à barra.

Passo 1

Bora lá, a última do capítulo pra gente fechar rotações! A situação tá esquematizada aqui:

Representei o sistema em duas posições, uma com ângulo θ 0 e outra com ângulo θ com a vertical. O desenho mostra todas as forças que atuam na barra. Essas forças vão fazer a barra girar!

Passo 2

Vamos começar conservando energia: no início ele estava na posição com θ 0 , e aí rodou, adquirindo energia cinética rotacional e ficando com outra energia potencial gravitacional.

M g L 2 c o s θ 0 = M g L 2 c o s θ + I ω 2 2

Substituindo o momento de inércia da barra:

M L 2 3 ω 2 2 = M g L 2 c o s θ - c o s θ 0

ω 2 = 3 g L c o s θ - c o s θ 0

Passo 3

Na direção da barra aparece a resultante centrípeta por causa da rotação:

f + M g c o s θ = M L 2 ω 2

f = M L ω 2 2 - M g c o s θ

Substituindo aqui o que achamos ali em cima:

f = M L 2 3 g L c o s θ - c o s θ 0 - M g c o s θ

f = M g 2 3 c o s θ 0 - 3 c o s θ - 2 c o s θ

f = - M g 2 5 c o s θ - 3 c o s θ 0

Passo 4

Relacionando a aceleração tangencial do centro de massa com a sua aceleração angular:

a = L 2 α

Mas da segunda lei de Newton para a rotação:

α = ∑ τ I = M g L 2 s e n θ M L 2 3 = 3 g s e n θ 2 L

Daí,

a = L 2 3 g s e n θ 2 L

a = 3 g s e n θ 4

Essa aceleração pode, marotamente, ser escrita como a soma da componente perpendicular da gravidade mais a expressão F / M , significando que a aceleração tangencial é a soma da aceleração da gravidade com a aceleração devido à força.

3 g s e n θ 4 = g s e n θ + F M

F = - M g s e n θ 4

Resposta

F = - M g s e n θ 4

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