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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 13.1 - Ex. 66

Uma fonte projetada para pulverizar uma coluna de água com 12m de ar possui um bico de 1,0 cm de diâmetro ao nível do solo. A água desta bomba está a 3,0 m abaixo do solo. O tubo para o bico tem um diâmetro de 2,0 cm. Encontra a pressão da bomba necessária se a fonte for operar como projetado. (Suponha um fluxo laminar não viscoso em estado estacionário.)

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever os dados da questão para facilitar a visualização. Temos que,

Δ h = 12 m (altura da coluna de ar)

d b o =   1,0   c m (diâmetro de bomba)

h b i c o = 3 m (altura da água em relação ao bico)

d b i = 2,0   c m (diâmetro do bico)

A questão pede a pressão da bomba, ou seja, P b o . Relacionando com a equação de Bernoulli temos:

P b o + ρ a g h b o + 1 2 ρ a v b o 2 = P b i + ρ a g h b i + 1 2 ρ a v b i 2    

Sendo:

ρ a =   densidade volumétrica da água

v b o = velocidade na bomba

v b i = velocidade no bico

Passo 2

Agora o problema não parece tão difícil não é! Note que, quando a questão diz que o bico está no nível do solo pode retirar duas informações desta frase. Uma que a altura da água em relação a bomba é 0 e outra que a pressão no bico é igual a pressão no nível do solo. Desse modo,

P b o = P a t

h b o = 0

Substituindo essas informações na equação de Bernoulli, temos

P b o + 1 2 ρ a v b o 2 = P a t + ρ a g h b i + 1 2 ρ a v b i 2

P b o = P a t + ρ a g h b i + 1 2 ρ a ( v b i 2 - v b o 2 )

Passo 3

Agora lembra da equação da continuidade, que relaciona as áreas com a velocidade. Vamos utilizar ela e substituir depois na equação de Bernoulli. Assim,

A b o v b o = A b i v b i

v b o = A b i A b o v b i = 1 4 π d b i 2 1 4 π d b o 2 v b i = 1,0 2 2,0 2 v b i = 1 4 v b i

v b o 2 = 1 16 v b i 2

Passo 4

Pronto, estamos quase lá! Lembra da equação de torricelli? Ela relaciona velocidade com a altura e isto é bastante interessante para resolver esta questão. Logo,

v 2 = v b i 2 - 2 g Δ h

A questão supôs fluxo laminar não viscoso em estado estacionário, ou seja, v = 0 . Dessa maneira,

v b i 2 = 2 g Δ h

Passo 5

Substituindo na equação de Bernoulli

P b o = P a t + ρ a g h b i + 1 2 ρ a ( 2 g Δ h - 1 16 ( 2 g Δ h ) )

=   P a t + ρ a g h b i + 1 2 ρ a ( 15 8 g Δ h )

= P a t + ρ a g ( h b i + 15 16 Δ h )

Substituindo os valores, temos a resposta

P b o = 101,325 * 10 3 + 1 * 10 3 * 9,81 * 3 + 15 16 * 12

P b o = 2,4 * 10 5 P a

Resposta

2,4 * 10 5 P a

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