Um bloco de 0,50   k g de massa repousa na superfície inclinada de uma cunha de 2,0   k g de massa, como na figura. Uma força horizontal F → é aplicada sobre a cunha, que desliza sobre uma superfície sem atrito. (a) Se o coeficiente de atrito estático entre a cunha e o bloco é μ s = 0,80 e a cunha tem uma inclinação de 35 ° com a horizontal, encontre os valores máximo e mínimo da força F → para os quais o bloco não escorrega. (b) Repita a parte (a) com μ s = 0,40 .

Passo 1

Dessa vez temos uma força F aplicada na direção paralela ao chão, então vamos usar um sistema de coordenadas que seja útil para tratar desse caso:

(Aproveitamos o diagrama do enunciado por conveniência, mas o ideal seria desenhar o bloco como um ponto). Vamos escrever as equações das forças, começando pela horizontal:

∑ F x = N cos ⁡ 90 ° - θ - F a t cos ⁡ θ = m a x

∑ F x = N sen ⁡ θ - F a t cos ⁡ θ = m a x

E então a vertical:

∑ F y = N cos ⁡ θ + F a t cos ⁡ 90 ° - θ = m g

N cos ⁡ θ + F a t sen ⁡ θ = m g

Passo 2

O a x que colocamos na equação da força horizontal é a aceleração do sistema inteiro (bloco e cunha), ou seja:

F = m t o t a l a x

E queremos achar os valores máximo e mínimo dessa força para que o bloco não deslize.

Quando a força é mínima, a preocupação é que o bloco não deslize para baixo, então temos que garantir que o átrio é forte o suficiente para segurá-lo onde está:

F a t = μ N

Substituindo isso na equação das forças verticais:

N cos ⁡ θ + F a t sen ⁡ θ = m g

N = m g cos ⁡ θ + μ sen ⁡ θ

Substituindo isso tudo na equação das forças horizontais:

N sen ⁡ θ - F a t cos ⁡ θ = m a x

m g cos ⁡ θ + μ sen ⁡ θ sen ⁡ θ - μ m g cos ⁡ θ + μ sen ⁡ θ cos ⁡ θ = m a x

Dividindo tudo por m e isolando a aceleração a x :

a x = g sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ cos ⁡ θ + μ sen ⁡ θ

E esse é o valor mínimo da aceleração, e a força mínima associada é:

F m í n = m t o t a l a x

F m í n = ( 2,5 ) ( 9,81 ) sen ⁡ 35 ° - ( 0,80 ) cos ⁡ 35 ° cos ⁡ 35 ° + ( 0,80 ) sen ⁡ 35 °

F m í n = 1,6   N

Passo 3

E para encontrar o valor máximo é só inverter a lógica. Agora nossa preocupação é que o bloco deslize para cima, então queremos garantir que a força de atrito estático (agora apontando para baixo) é suficiente para segurá-lo onde está:

Nem precisamos refazer a conta toda, é só inverter o sinal dos termos em que o μ aparece (que afinal de contas são os termos ligados à força de atrito):

a x = g sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ cos ⁡ θ - μ sen ⁡ θ

E essa é a aceleração máxima, associada à seguinte força:

F m á x = ( 2,5 ) ( 9,81 ) sen ⁡ 35 ° + ( 0,80 ) cos ⁡ 35 ° cos ⁡ 35 ° - ( 0,80 ) sen ⁡ 35 °

F m á x = 84   N

Passo 4

(b) Agora só precisamos refazer essas contas para o caso em que μ = 0,40 . Já temos as fórmulas prontas, só falta trocar os valores.

Para a força mínima temos:

F m í n = ( 2,5 ) ( 9,81 ) sen ⁡ 35 ° - ( 0 , 4 0 ) cos ⁡ 35 ° cos ⁡ 35 ° + ( 0 , 4 0 ) sen ⁡ 35 °

F m í n ≅ 5,8   N

E para a força máxima:

F m á x = ( 2,5 ) ( 9,81 ) sen ⁡ 35 ° + ( 0,4 0 ) cos ⁡ 35 ° cos ⁡ 35 ° - ( 0 , 4 0 ) sen ⁡ 35 °

F m á x ≅ 37   N

Resposta

(a) F m í n = 1,6   N e F m á x = 84   N , com μ s = 0,80 .

(b) F m í n = 5,8   N e F m á x = 37   N , com μ s = 0,40 .

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