Um bloco de aço de 500 g descreve um círculo preso por uma haste de peso desprezível com 2,0   m de comprimento. Ar comprimido é introduzido pela haste e injetado por um bico na parte traseira do bloco, exercendo sobre ele uma força de empuxo de 3,5   N . O bico está orientado a 70 ° da linha radial, como mostra a FIGURA P 8.51 . O bloco parte do repouso.

a. Qual é a velocidade angular do bloco após 10 revoluções?

b. Quanto vale a tensão na haste após 10 revoluções?

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Os dados que o problema nos dá são os seguintes:

m = 0,5 k g

α = 70 °

r = 2 m

F e m p u x o = 3,5 N

μ = 0,6

O ângulo da velocidade tangencial com a horizontal vale θ = 20 ° , pois α + θ = 90 ° . Saca só nesse desenho:

A força de empuxo está representada em verde, a força de atrito em vermelho e a centrípeta em roxo. O ângulo que a força de empuxo faz com a horizontal é de 20 ° . Ainda temos duas outras forças: a força peso e a normal. Elas se cancelam ( m g = n ), pois não temos movimento na vertical. Vou chamar de T a tensão na haste.

Na direção radial temos que a resultante é a força centrípeta, já na direção perpendicular a ela, ou seja, ao longo do eixo que tangencia a circunferência, temos equilíbrio de forças. Assim conseguimos formar o seguinte sistema de equações:

T + F e m p u x o s e n 20 ° = m r ω 2 F e m p u x o c o s 20 ° - f a t = m a

Passo 2

Letra a)

Agora, da segunda equação temos:

F e m p u x o c o s 20 ° - μ n = m a

3,5 c o s 20 ° - 0,6.0,5.9,8 = 0,5 a

3,29 - 2,94 = 0,5 a

a = 0,7 m / s 2

O deslocamento angular foi de 10   r e v , ou seja, θ 1 = 20 π r a d , então o tempo transcorrido, considerando θ 0 = 0 e ω 0 = 0 , foi:

θ 1 = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 = 1 2 a r t 2

θ 1 = a 2 r t 2

t 2 = 2 r θ 1 a

t = 2 r θ 1 a = 2 2 20 π 0,7 = 18,95 s

E agora podemos calcular a velocidade angular, já que temos o tempo e a aceleração:

ω 1 = ω 0 + a r t

ω 1 = 0 + 0,7 2 18,95 = 6,63 r a d / s

Passo 3

Letra b)

Agora queremos determinar a tensão. Dá uma espiadela no nosso sistema de equações e resgata de lá a primeira delas:

T + F e m p u x o s e n 20 ° = m r ω 2

Aqui propositalmente coloquei a força centrípeta em termos da velocidade angular =D

Usando os dados do problema junto com a velocidade angular calculada no passo anterior, é só substituir ali em cima para achar a tensão:

T = m r ω 2 - F e m p u x o s e n 20 °

T = 0,5 . 2 . 6,63 2 - 3,5 s e n 20 ° = 44 N

Beleza?

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

a ) 6,63 r a d / s

b ) 44 N

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