Uma partícula de masa está suspensa do teto por uma mola de constante elática e comprimento relaxado , cuja massa é desprezível. A partícula é solta em repouso, com a mola relaxada. Tomando o eixo orientado verticamente para baixo, com origem no teto, calcule a posição da partícula em função do tempo.

Como a aceleração é a segunda derivada da posição que no caso é representada pela coordenada :

Temos a seguinte equação diferencial:

Substituindo a aceleração:

Dividindo todos os lados pelo valor da massa da partícula:

Essa é uma EDO não homogênea (porque temos aquela constante sozinha do lado direito da equação).

O método pra resolver esse tipo de equação é: primeiro resolva como se a constante não estivesse lá. Depois coloque a constante de volta e tente chutar uma solução que funcione.

A solução geral é a soma dessas duas soluções!

Então vamos começar com a solução da equação homogênea, ou seja, vamos começar fingindo que não está ali:

Nesse caso temos a equação geral de um oscilador harmônico, que tem a seguinte solução:

Onde :

Agora vamos para a solução não homogênea:

Podemos chutar uma solução constante, ou seja,

Nesse caso teríamos que a segunda derivada é igual a zero:

Então:

Então nossa segunda solução é:

Agora temos que juntar as duas:

Beleza, achamos a solução geral, agora temos que impor as condições iniciais.

O enunciado diz que a partícula é solta em repouso, isso quer dizer que a velocidade inicial é igual a zero, e como sabemos que a velocidade é igual a primeira derivada da posição em relação ao tempo:

Logo:

Ou seja, a velocidade inicial é zero. Vamos derivar a nossa função :

E quando , temos:

Para satisfazer essa equação, vamos definir que , já que .

Então por enquanto temos o seguinte:

Outra informação que temos é que a partícula parte da posição , ou seja:

Substituindo na nossa função, ficamos com:

Como o cosseno de 0 é igual a 1:

Então: