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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas Adicionais - Ex. 112

Uma bola é lançada verticalmente para baixo de uma altura h com uma velocidade inicial v 0 . (a) Qual é a velocidade da bola pouco antes de atingir o solo? (b) Quanto tempo a bola leva para chegar ao solo? Quais seriam as respostas (c) do item a e (d) do item b se a bola fosse lançada para cima da mesma altura e com a mesma velocidade inicial? Antes de calcular a resposta, verifique se as respostas dos itens (c) e (d) devem ser maiores, menores ou iguais às dos itens (a) e (b).

Passo 1

Primeiro vamos determinar que nosso referencial é o chão, ou seja, a cota do chão é y c = 0 e que o nosso deslocamento é dado no eixo y cujo o sentido positivo é para cima.

Para este tipo de movimento (MRUV) precisamos ter em mente as seguintes funções:

y t = y 0 + v 0 t - g t 2 2

v t = v 0 - g t

v 2 = v 0 2 - 2 g ∆ y

Passo 2

Para determinar a velocidade com que a fala atinge o solo usaremos a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 - 2 g ∆ y

Onde v 0 foi dado, e o ∆ y é: ∆ y = y f - y 0 = ( 0 - h ) , assim:

v q ² = - v 0 2 - 2 g × ( 0 - h )

v q 2 = v o 2 + 2 g h  

v q = -   v 0 2 + 2 g h

Escolhemos a raíz negativa, pois quando a bola atinge o chão, o sentido da velocidade aponta para baixo.

Passo 3

Para determinar o tempo que a bola atinge o solo usaremos a função da velocidade entre o instante que a bola atinge o solo.

v t = v 0 - g t

Substituindo o valor da velocidade calculado no passo anterior:

-   v 0 2 + 2 g h = - v o - g t q

Isolando t :

t q = v 0 2 + 2 g h - v 0 g

Passo 4

Supondo que ao invés de lançar para baixo jogássemos para cima com a mesma velocidade e como desprezamos a resistência do ar a bola voltará para altura inicial com a mesma velocidade de lançamento, mas com o sentido trocado. Assim a velocidade com que a bola atingirá o solo é a mesma que calculamos no passo 2:

v q ' =   -   v 0 2 + 2 g h

Passo 5

Para calcular o tempo até a bola atingir o solo usaremos o mesmo pensamento do passo 3, já que calculamos a velocidade do instante em que a bola atinge o solo. Portanto, usando a função da velocidade, temos:

v t = v 0 - g t

-   v 0 2 + 2 g h = v 0 - g t q '

Isolando t q ' :

t q ' = v 0 2 + 2 g h + v 0 g

Resposta

  1. v q = -   v 0 2 + 2 g h ;
  2. t q = v 0 2 + 2 g h - v 0 ;
  3. v q ' = - v 0 2 + 2 g h ;
  4. t q ' = v 0 2 + 2 g h + v 0 g .
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