Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 2.1 - Ex. 96
A bola A é largada do topo de um prédio de altura h no mesmo instante em que a bola B é atirada verticalmente, para cima, a partir do chão. Quando as bolas colidem, elas estão se deslocando em sentidos opostos e a rapidez de A é o dobro da rapidez de B. A que altura ocorre a colisão?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Vamos analisar essa questão. Ambas as bolas estão submetidas a gravidade somente, então teremos um movimento com aceleração constante para os dois casos e assim poderemos usar as equações desses movimentos.
Percebe que o enunciado não dá muitas informações e a gente não tem nenhum dado numérico. Vamos olhar com cuidado o que temos então. A gente tem uma relação entre a rapidez de cada bola quando elas se colidem.
Se há colisão, temos que as posições são iguais
Ele diz que no ponto onde isso acontece, a rapidez de A é o dobro da rapidez de B, ele elas tem sentidos opostos, logo as velocidades terão sinais trocados) e teremos a relação:
E o que ele quer é saber a altura em que essas bolas se colidem. Ou seja, ele quer um valor para , sendo .
A ideia aqui é que temos uma relação entre as posições das bolas e a velocidade das bolas. Então o que vamos fazer é achar a expressão de cada umas dessas grandezas e jogar nas nossas equações, e ver se conseguimos achar a posição onde elas se encontram. Bora!
Passo 2
A equação horária da posição para o movimento com aceleração constante é:
E a da velocidade é
Para a bola A, temos que a velocidade inicial é nula pois ela sai do repouso, a posição inicial é a altura , e a aceleração é a gravidade (negativa porque está para baixo). Logo, as equações para ela ficam:
Já para a bola , não sabemos a velocidade inicial, então vamos deixar como mesmo (vai ser uma icognita). A posição inicial dela é o solo, então , e a aceleração é também :
Passo 3
Agora que a gente tem as expressões das posições e das velocidades, podemos substituir nas relações dadas pelo enunciado:
Substituindo nossas equações horárias:
Percebe que a gente tem um sisteminha de duas equações e duas incógnitas: uma é o instante em que essas bolas se encontram e a outra é a velocidade inicial da bola B.
Se a gente achar , a gente pode jogar a expressão dele na expressão de e achar a altura em que essas bolas se encontram como o enunciado pede. Vamos fazer isso!
Passo 4
Rearrumando a nossas equações:
Substituindo a primeira equação na segunda:
Isolando , que a gente quer encontrar:
A gente deixa a raiz positiva porque tempo é só positivo, certo?
Passo 5
Com o valor de , a gente consegue finalmente descobrir , usando a expressão da posição da bola A:
Substituindo nela:
A gente vai deixar em função de mesmo porque é um dado do problema (a altura do prédio).
Você também poderia ter usado , mas aí precisaria ter achado . Ia ser mais trabalhoso, mas também dá certo! 😊