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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 107

Uma bola de squash tipicamente rebate de uma superfície voltando com 25 por cento da rapidez que tinha ao atingir a superfície. Seja uma bola de squash lançada em uma trajetória baixa, a uma altura de 45 cm do chão e a um ângulo de 6,0° acima da horizontal, e a uma distância de 12 m da parede à frente. (a) Se ela atinge a parede exatamente no ponto mais alto de sua trajetória, determine a que altura do chão a bola atinge a parede. (b) A que distância horizontal da parede ela chega a rebater? (Ignore a resistência do ar.)

Passo 1

Oi galera, tudo bem? O problema nos dá muitos dados e é sempre importante tentar organizar isso tudo e visualizar a situação. O desenho abaixo mostra exatamente o que o problema descreve.

O enunciado nos diz que a bola atinge a parede quando está no ponto mais alto de sua trajetória. Sabemos que em um movimento oblíquo o ponto mais alto da trajetória é aquele em que a velocidade vertical é nula v y = 0 . Portanto v = v x   neste momento.

Vamos organizar os dados que temos:

  • y 0 = 0,45   m
  • θ 0 = 6 °
  • x = 12   m

A questão nos pede a altura em que a bola atinge a parede.

Temos que:

Podemos então fazer a relação entre o tempo do movimento horizontal e vertical.

x = x 0 + v 0 x ⋅ t

t = x - x 0 v o x

Podemos usar Torriceli para descobrir a altura máxima:

v y 2 = v 0 y 2 - 2 ⋅ g ⋅ h

h = v y 2 - v 0 y 2 - 2 g

h = v 0 y 2 2 g

Temos que:

v y = v 0 y - g ⋅ t

E como v y = 0 , temos que v 0 y = g ⋅ t .

Agora vamos ter que fazer uma manipulação matemática pra acharmos o valor de h . Fica atento.

Temos que: v 0 y 2 = v 0 y ⋅ v 0 y e como v 0 y = g ⋅ t , então v 0 y 2 = v 0 y ⋅ g ⋅ t

Mas pela equação do movimento horizontal temos que:

x = x 0 + v 0 x ⋅ t

Então:

t = x - x 0 v 0 x

Logo substituindo o t temos que:

v 0 y 2 = v 0 y ⋅ g ⋅ x - x 0 v 0 x

v 0 y 2 = x - x 0 ⋅ g ⋅ v 0 y v 0 x

v 0 y 2 = x - x 0 ⋅ g ⋅ v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0 v 0 ⋅ cos ⁡ θ 0

v 0 y 2 = x - x 0 ⋅ g ⋅ tan ⁡ θ 0

Agora é só correr pro abraço e substituir:

h = v 0 y 2 2 ⋅ g = x - x 0 ⋅ g ⋅ tan ⁡ θ 0 2 ⋅ g

h = 12 ⋅ 9,81 ⋅ tan ⁡ 6 ° 2 ⋅ 9,81

h = 0,631   m

Então a altura máxima será :

H m á x = h + y 0

H m á x = 0,631 + 0,45

H m á x = 1,081   m

Passo 2

A questão também nos pede a distância horizontal da parede até a bola quando esta toca o chão.

Como foi mostrado anteriormente a bola ao atingir a parede só tem velocidade horizontal, então v = v x = v 0 x .

Bom, o enunciado deixou claro que quando a bola atinge uma superfície ela volta com 25 por cento da velocidade que tinha antes de atingir.

Então a velocidade inicial do segundo momento é v 02 = 0,25 ⋅ v .

Para achar essa velocidade anterior temos que:

h = v 0 y 2 2 g

Então v 0 y = h ⋅ 2 g = 3,52   m / s

v 0 y = v 0 ⋅ sin ⁡ 6 °

v 0 = v 0 y sin ⁡ 6 °

v 0 = 33,68   m / s  

Logo:

v 0 x = v 0 ⋅ cos ⁡ 6 °

v 0 x = 33,5   m / s

Assim temos que:

v 02 = 0,25 ⋅ 33,5

v 02 = 8,375   m / s

Lembrando que esta velocidade do segundo momento está somente no eixo x. Portanto, a velocidade vertical inicial do segundo momento é zero e podemos inferir que:

∆ y = g 2 ⋅ t 2

t = 2 ⋅ H m á x g  

t = 0,47   s

Sabendo o tempo do movimento fica fácil achar o alcance:

x = x 0 + v 0 x ⋅ t

∆ x = v 0 x ⋅ t

∆ x = 8,375 ⋅ 0,47

∆ x = 3,94   m

Resposta

a ) H m á x = 1,081   m

b ) ∆ x = 3,94   m

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