CALC Use os métodos do Problema desafiador 8.104 para determinar as coordenadas x e y do centro de massa de uma placa metálica semicircular com densidade uniforme e espessura t. Chame de a o raio da placa. Então, a massa da placa é M 1 2 rp a2 t. Use o sistema de coordenadas indicado

Passo 1

Vamos fazer mais uma questão!!

E aiii galera,

Temos o seguinte:

x c m = 1 M ∫ x d m   e   y c m = 1 M ∫ y d m

Na superfície superior da placa, y 2 + x 2 = a 2

Para encontrar x c m , divida a placa em tiras finas paralelas ao eixo y, como mostrado na figura a. Então, encontre   y c m , divida a placa em tiras finas paralelas ao eixo x, conforme mostrado na figura b.

A placa tem o volume de metade de um disco circular, então V = 1 2 π a 2 t   e   M = 1 2 ρ π a 2 .

Passo 2

Na figura a, cada tira tem comprimento y = a 2 - x 2 .

x c m = 1 M ∫ x d m onde d m = ρ y d x = ρ a 2 - x 2 d x .

Então, x c m = ρ t M ∫ - a a   x a 2 - x 2 d x = 0 , uma vez que o integrando é uma função ímpar de x. x c m = 0 devido à simetria.

Na figura b, cada tira tem comprimento 2 x = 2 a 2 - y 2 .

y c m = 1 M ∫ y d m , onde d m = 2 ρ t x d y = 2 ρ t a 2 - y 2 d y

Passo 3

Então, y c m = 2 ρ t M ∫ - a a   y a 2 - y 2 d y

A integral pode ser avaliada usando:

u = a 2 - y 2 , d u = - 2 y d y

E substituindo temos:

y c m = 2 ρ t M - 1 2 ∫ a 2 0   u 1 2 d u = 2 ρ t a 3 3 M = 2 ρ t a 3 3 2 ρ π a 2 t = 4 a 3 π

4 3 π = 0.424 . y c m é menor que a / 2 , como esperado, uma vez que a placa se torna mais larga à medida que y diminui.

Resposta

4 a 3 π

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