Em uma escavação arqueológica de fim de semana, você descobre um antigo martelo que consiste de uma pedra simétrica de 8,0   k g presa na ponta de um pedaço de madeira uniforme de 2,5   k g . Você mede as dimensões do martelo conforme mostrado na figura. Qual a distância entre o centro de massa do martelo e a ponta por onde se empunha o martelo?

Passo 1

a) Falaa, querido! Ele quer a posição do centro de passa dessa peça em relação a sua extremidade esquerda. Tem um passo a passo para resolver questões de centro de massa. É seguir ele que dá bom!

Primeira coisa é achar a posição do centro de massa de cada uma das partes. Mas precisa ser em relação a um ponto determinado. Como ele pede o centro de massa da peça em relação a extremidade esquerda, vamos colocar a origem do nosso eixo lá.

Tanto o cabo quando a pedra são homogêneos, então o centro de massa de cada um deve estar localizado no ponto médio dos seus respectivos comprimentos.

Vamos supor que a pedra tem um furo, e que o bastão passa por dentro dela, de forma que o comprimento total do cabo é 80 + 18 = 98   c m .

A gente só colocou y ai para marcar a origem de x . Aí queremos a distância entre y e o centro de massa do cabo, que vai ser metade do seu comprimento:

x c a b o = 98 2 = 49   c m

E queremos a distância entre y e o centro de massa da pedra, que vai ser metade do seu comprimento mais a distância entre a pedra e o eixo y :

x p e d r a = 80 + 18 2 = 89   c m

Passo 2

E agora para calcular a posição do centro de massa em relação ao nossa origem, só precisamos calcular a média ponderada das posições em relação a massa de cada parte. Basicamente, é usar essa fórmulinha:

x C M = ∑ m i x i ∑ m i

Onde m i é a massa de uma parte da nossa peça e x i é a distância entre o centro de massa dessa parte e y . ∑ m i é a massa tota da peça. ∑ m i x i é a soma dos produtos m i x i . Para o nosso caso, essa fórmulinha fica:

x C M = m c a b o x c a b o + m p e d r a x p e d r a m c a b o + m p e d r a

Substituindo os dados:

x C M = 2,5 49 + ( 8,0 ) ( 89 ) 2,5 + ( 8,0 )

x C M = 79 , 5   c m

Resposta

O centro de massa do martelo está a 79 , 5   c m da ponta.

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