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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 102

Um diapasão, preso a uma corda esticada, gera ondas transversais. A vibração do diapasão é perpendicular à corda. Sua frequência é de 400 H z e a amplitude de sua oscilação é 0,50 m m . A corda tem uma massa específica linear de 0,010 k g / m e está sob uma tração de 1,0 k N . Suponha que não haja ondas refletidas na outra extremidade da corda. (a) Quais são o período e a frequência das ondas na corda? (b) Qual é a rapidez das ondas? (c) Quais são o comprimento de onda e o número de onda? (d) Escreva uma função de onda apropriada para as ondas na corda. (e) Quais são a rapidez e a aceleração máxima de um ponto da corda? (f) Com que taxa média mínima a energia deve ser fornecida ao diapasão para mantê-lo oscilando com a mesma amplitude?

Passo 1

Nossa, essa é muito grande! Mas é como o 2 disse pro 10 1000 : “você é grande mas não é dois!”. Bora lá então!

  1. A frequência das ondas na corda tem que ser igual à frequência de vibração do diapasão! Assim:

    2. f = 400 H z

    E como a frequência é o inverso do período:

    T = 1 f = 1 400 s - 1 = 2.50 m s

    Passo 2

  2. Pra achar a velocidade das ondas na corda a gente só tem que lembrar daquela formulinha:

    3. v = T μ

    Substituindo:

    v = 1000 N 0.01 k g m = 316.2 m s

    Passo 3

  3. Pra achar comprimento de onda, a gente usa a fórmula principal de ondas!

    4. v = λ f → λ = v f

    λ = 316.2 m s 400 s - 1

    λ = 79.05   c m

    Número de onda é aquele k , lembra dele?

    k = 2 π λ

    k = 2 π 79.05 × 10 - 2 m = 7.95 m - 1

    Passo 4

  4. A função de onda é aquela geralzona, que relaciona o y do ponto com os parâmetros da onda. É assim, ó:

    5. y x , t = A s e n ( k x - ω t )

    A gente já tem quase tudo, só falta achar o ω . A gente encontra ele relacionando com a frequência.

    ω = 2 π f

    ω = 2 π 400 s - 1 = 2.5 × 10 3 s - 1

    Aí é só substituir tudo!

    y x , t = 0.50 m m s e n ( 7.95 m - 1 ) x - 2.51 × 10 3 s - 1 t

    Como a amplitude está em milímetros e o seno não tem dimensão, então o y vai estar em milímetros!

    Passo 5

  5. A velocidade máxima da onda é calculada por v m á x = A ω e a aceleração máxima é a m á x = A ω 2 . Então, substituindo:

    6. v m á x = 0.50 × 10 - 3 m 2.51 × 10 3 s - 1

    v m á x = 1.3 m s

    a m á x = 0.50 × 10 - 3 m 2.51 × 10 3 s - 1 2

    a m á x = 3200 m s 2

    Passo 6

  6. Bora nessa, só pra acabar! A potência média a gente calcula assim:

P = 1 2 μ ω 2 A 2 v

Substituindo:

P = 1 2 0.10 × 2.51 × 10 3 2 × 0.50 × 10 - 3 2 × 316.2

P = 2.5 W

Resposta

  1. f = 400 H z ,   T = 2.50 m s
  2. v = 316.2 m s
  3. λ = 79.05 c m , k = 7.95 m - 1
  4. y x , t = 0.50 m m s e n 7.95 m - 1 x - 2.51 × 10 3 s - 1 t
  5. v m á x = 1.3 m s , a m á x = 3200 m s 2
  6. P = 2.5 W
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