Enunciado

Calcule a divergência e o rotacional do campo vec U (x , y , z) = y z hat i + x z hat j + x y hat k .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Assim como no exercício anterior, temos que calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial fornecido.

Para isso, lembramos que se vec U = U_x hat i + U_y hat j + U_z hat k , a divergência é dada por

grad * vec U = (del U_x)/(del x) + (del U_y)/(del y) + (del U_z)/(del z)

Observe que nesse caso, temos U_x = y z , U_y = x z e U_z = x y , de modo que

(del U_x)/(del x) = (del U_y)/(del y) = (del U_z)/(del z) = 0

Com isso, achamos

grad * vec U = 0

Passo 2

Enquanto a divergência é um escalar, o rotacional é um vetor, dado pelo determinante:

grad xx vec U = |[[hat i,hat j,hat k],[del_x,del_y,del_z],[U_x,U_y,U_z]]|

Com isso, temos

grad xx vec U = |[[hat i,hat j,hat k],[del_x,del_y,del_z],[y,z,x,z,x,y]]|

Fazemos as contas do determinante, entramos

grad xx vec U = ((del)/(del y) (x y) - (del)/(del z) (x z)) hat i + ((del)/(del z) (y z) - (del)/(del x) (x y)) hat j + ((del)/(del x) (x z) - (del)/(del y) (y z)) hat k

É fácil perceber que cada parêntesis vai se anular, de modo que

grad xx vec U = vec 0

Resposta

grad * vec U = 0

grad xx vec U = vec 0

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