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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.7 - Ex. 61

(a) A que distância da superfície da Terra a energia necessária para fazer um satélite subir até essa altitude é igual à energia cinética necessária para que o satélite se mantenha em órbita circular na mesma altitude? (b) Em altitudes maiores, qual é maior, a energia para fazer o satélite subir ou a energia cinética para que se mantenha em órbita circular?

Passo 1

(a) Precisamos entender como calcular cada uma dessas energias.

A energia necessária para fazer um satélite subir é igual ao ganho de energia potencial gravitacional que ele recebe na subida:

E s = Δ U = U f - U i = - G M T m R T + h + G M T m R T

Δ U = G M T m . 1 R T - 1 R T + h

E a energia necessária para manter um satélite em órbita é apenas a energia cinética associada à velocidade que ele precisa ter para não cair. Vamos lembrar da fórmula que descreve a órbita:

v 2 = G M R T + h

E a energia cinética vai ser:

K   = m v 2 2 = G M T m 2 R T + h

Obs.: h é a altitude em relação à superfície da Terra. Precisamos somar o raio da Terra R T a esse valor para podermos usar as equações, pois elas exigem a distância entre os centros dos objetos.

Passo 2

Como a questão quer saber qual é a altitude necessária para que essas duas energias sejam iguais, só precisamos igualar:

K   = Δ U

G M T m 2 R T + h =   G M T m . 1 R T - 1 R T + h

No meio dessa confusão toda, queremos achar o valor de h .

Veja que podemos jogar tudo para um lado só, e cortar G M T m :

0 =   1 R T - 1 R T + h - 1 2 ( R T + h )

0 =   1 R T - 3 2 ( R T + h )

1 R T = 3 2 ( R T + h )  

2 . R T + h = 3 . R T

h = 1 2 R T

Vamos substituir o valor de R T :

h = 1 2 6,37   .   10 6 = 3,19.10 6   m

E essa é a altitude na qual as energias se igualam

Passo 3

(b) Finalmente, a questão quer saber o que acontece em altitudes maiores, ou seja em altitudes H > h

Se você voltar no início do passo 2 , vai lembrar que o valor que achamos para h garante que:

K = Δ U

Se reorganizarmos isso, podemos chamar de Δ E a diferença entre essas duas energias:

Δ E = Δ U - K =   G M T m   .     1 R T - 3 2 ( R T + h )

Pela equação que já tínhamos achado.

Quando h aumenta, o denominador da segunda fração também aumenta. Quando o denominador da fração aumenta, a própria fração dá um número menor!

Ou seja, quando h aumenta, estamos subtraindo um número menor na fórmula, e o valor de Δ E aumenta!

Isso quer dizer que para h > 3,19.10 6 , Δ E > 0 , logo:

Δ U - K > 0

Δ U > K

Resposta

(a) As energias são iguais quando h =   3,19.10 6   m

(b) Quando h >   3,19.10 6   m , Δ U > K .

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