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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 24.1 - Ex. 49

Um capacitor esférico consiste em uma fina casca esférica de raio R 1 e de uma fina casca esférica concêntrica de raio R 2 , onde R 2   >   R 1 .

(a) Mostre que a capacitância é dada por C = 4 π ε 0 R 1 R 2 / ( R 2 - R 1 ) .

(b) Mostre que, quando os raios das cascas são praticamente iguais, a capacitância é aproximadamente dada pela expressão para a capacitância de um capacitor de placas paralelas, C = ε 0 A / d , onde A é a área da esfera e d   =   R 2 -   R 1 .

Passo 1

Acho que a primeira coisa a se fazer aqui é desenhar essas duas cascas esféricas concêntricas, não é verdade?

Então, para demonstrar o valor da capacitância, vamos supor que exista uma carga + Q na esfera laranja e uma carga - Q na esfera de raio azul. Beleza?

Passo 2

L e t r a   A :

De acordo com a teoria, para uma esfera condutora carregada de carga + Q , o potencial V são esferas concêntricas...

E varia com o raio r ...

V = 1 4 π ε 0 Q r

Então, a diferença de potencial entre as esferas laranja e azul será...

V = V l a r a n j a - V a z u l = 1 4 π ε 0 Q R 1 - 1 4 π ε 0 Q R 2     →

V = Q 4 π ε 0 1 R 1 - 1 R 2     →

Então...

V = Q 4 π ε 0 R 2 - R 1 R 2 R 1    

Passo 3

Então, agora que conhecemos a diferença de potencial entre as esferas, basta se lembrar de que a capacitância pode ser determinada a partir de...

Q = C V

Então...

Q = C Q 4 π ε 0 R 2 - R 1 R 2 R 1   →

4 π ε 0 R 2 R 1 R 2 - R 1 = C

Passo 4

L e t r a   B :

Veja que quando R 2 ≈ R 1 , ou seja, a esfera laranja quase se coincide com a esfera azul, podemos falar que...

C = 4 π ε 0 R 1 2 R 2 - R 1

Só que o que é 4 π R 1 2 ?

É a área da esfera de raio R 1 ...

C = ε 0 A d

Onde d = R 2 - R 1 (é a largura de separação entre as esferas).

Resposta

Letra A:

Q = 4 π ε 0 R 2 R 1 R 2 - R 1

Letra B:

C = ε 0 A d

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