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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.Problemas Adicionais - Ex. 84

Uma esfera maciça homogênea de raio R produz uma aceleração gravitacional a g na superfície. A que distância do centro da esfera está o ponto (a) do lado de dentro e (b) do lado de fora da esfera no qual a aceleração gravitacional é a g / 3 ?

Passo 1

A pergunta pode parecer estranha no começo, mas vamos lá: como a esfera é maciça, tem mais de uma forma de fazer a aceleração da gravidade diminuir.

Podemos nos afastar dela, o que vai aumentar a distância r na fórmula g = G M r 2 .

Ou podemos “entrar” nela. Quando fazemos isso, a porção da esfera que ficou “pra fora” não nos afeta mais (esse é um teorema importante da gravitação), ou seja, é como se diminuíssemos a massa M na fórmula.

Passo 2

Vamos começar calculando quanto precisamos descer para atingir essa redução indo “pra dentro”:

Pela fórmula para o volume da esfera, podemos escrever a massa específica assim:

ρ = M 4 3 π r 3 ⇒ M = 4 3 π r 3 ρ

Vamos substituir isso na fórmula para g :

g = G M r 2 = G r 2 4 3 π r 3 ρ = 4 G π ρ 3 . r

Essa fórmula só vale quando estamos “dentro” da esfera (ou seja, r ≤ R ) :

Aí vemos que a aceleração da gravidade fica diretamente proporcional ao raio. Isso quer dizer que:

g ' = g 3 ⇒ r ' = R 3

E essa é a resposta da letra (a).

Passo 3

Indo “pra fora” da esfera nós já estamos acostumados. A aceleração segue a fórmula:

g = G M r 2

Ou seja, para obtermos g ' = g / 3 , qual precisa ser o valor de r?

G M 3 R 2 = G M r 2

1 3 R 2 = 1 r 2

r 2 = 3 R 2

r = 3 R

Pronto!

Resposta

(a) Do lado de dentro r = R / 3 .

(b) Do lado de fora r = 3 R  

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