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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.Problemas Adicionais - Ex. 81b

Em um sistema estelar binário, duas estrelas de massa 3,0   .   10 30   k g giram em torno do centro de massa do sistema a uma distância de 1,0   .   10 11   m . (a) Qual é a velocidade angular das estrelas em relação ao centro de massa? (b) Se um meteorito passa pelo centro de massa do sistema perpendicularmente ao plano de órbita, qual a menor velocidade que o meteorito deve ter ao passar pelo centro de massa para poder escapar para o “infinito” depois de passar pelo sistema binário?

Passo 1

A letra (b) pede para imaginarmos um meteorito passando pelo centro de massa do sistema, perpendicular ao plano de órbita, e quer saber qual a menor velicidade que ele precisa ter (ao passar pelo centro de massa) para poder escapar “para o infinito”.

Quando o meteorito está no centro de massa do sistema, a energia dele é a seguinte:

E = K + U = m v 2 2 - G M m r + G M m r

A fórmula da energia potencial aparece duas vezes, pois são consideradas as interações com ambas as estrelas.

Quando o meteorito “escapar para o infinito”, não importa qual será sua energia cinética. Já que queremos o caso limite, vamos considerar que seja zero. E quando r → ∞ , sabemos que U → 0 . Ou seja:

r → ∞ ⇒ E → 0

Passo 2

Usando a lei de convervação de energia, podemos dizer que, para o meteorito “escapar para o infinito”, é necessário que:

m v 2 2 - G M m r + G M m r = 0

Ou seja:

m v 2 2 = 2 G M m r

v 2 = 4 G M r

v = 4 G M r = 4 ( 6,67.10 - 11 ) ( 3.10 30 ) 10 11 = 8,9.10 4   m / s

Resposta

(b) v = 8,9 . 10 4   m / s

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