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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 99

Uma casca esférica espessa, de massa M e massa específica uniforme, possui raio interno R 1 e um raio externo R 2 . Determine o campo gravitacional g , como função de r para 0 < r < ∞ . Esboce um gráfico de g , versus r .

Passo 1

Inicialmente, vamos dividir o campo três regiões: r < R 1 , R 1 < r < R 2 e r > R 2 .

Para r < R 1 :

Como estamos trabalhando com casca, a sua parte interna é oca. Portanto, como não há massa não há campo gravitacional.

g r < R 1 = 0

Passo 2

Para R 1 < r < R 2 :

Como estamos medindo o campo há uma distancia r do centro:

g = G m r 2

Agora precisamos achar a massa m que está dentro dessa região, mas antes vamos achar a densidade.

ρ = M V

Não esquece que entre o centro e a borda de esfera de raio R 1 é tudo oco. Logo,

V = 4 3 π R 1 3 - 4 3 π R 2 3 = 4 3 π ( R 1 3 - R 2 3 )

Portanto,

ρ = M 4 3 π ( R 1 3 - R 2 3 )

O volume entre o centro e a borda de esfera de raio r será:

V ' = 4 3 π r 3 - 4 3 π R 1 3 = 4 3 π ( r 3 - R 1 3 )

Assim,

m = ρ V ' = M 4 3 π ( R 1 3 - R 2 3 ) ⋅ 4 3 π r 3 - R 1 3 = M r 3 - R 1 3 R 1 3 - R 2 3

Como já achamos a massa m agora é só voltar pra expressão do campo!

g = G M r 3 - R 1 3 r 2 R 1 3 - R 2 3

Passo 3

Por fim, para r > R 2 :

g = G M r 2

Agora vamos fazer um gráfico dessas brincadeiras ai de cima!

Quando r < R 1 , nosso campo é nulo

Quando R 1 < r < R 2 : nosso campo é crescente com a distância r

Quando r > R 2 : Nosso campo é decrecente com a distância r

Resposta

Para r < R 1 :

g = 0

Para R 1 < r < R 2 :

g = G M r 3 - R 1 3 r 2 R 1 3 - R 2 3

Para r > R 2 :

g = G M r 2

Quando r < R 1 , nosso campo é nulo

Quando R 1 < r < R 2 : nosso campo é crescente com a distância r

Quando r > R 2 : Nosso campo é decrecente com a distância r

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