A uma profundidade igual à metade do raio da Terra, a aceleração da gravidade vale cerca de:

  1. g
  2. 2 g
  3. g 2
  4. g 4
  5. g 8
  6. Não se pode determinar a resposta com os dados fornecidos.

Passo 1

Fala! Ele quer uma relação entre a gravidade na superfície da Terra g e a gravidade numa profundidade na metade do raio do planeta.

Podemos aproximar a Terra por uma esfera maciça. Na superfície da esfera, o campo gravitacional tem essa expressão

g = G M R 2

Sendo M a massa da Terra toda e R   o raio da Terra. G é a constante gravitacional. Quando a gente quer olhar para dentro da Terra, ou seja, dentro da esfera, como o nosso caso, a ideia é usar outra expressão, essa

g ' = G M R 3 r

Sendo que r é distância de onde queremos a gravidade até o centro da esfera. M continua sendo a massa da Terra toda e R o raio da Terra.

A ideia é usar essas duas fórmulinhas para achar a relação entre g na superfície da Terra e g ' a R / 2 do centro da Terra

Passo 2

Vamos calcular g ' :

Estamos na metade do raio da Terra. Para esse ponto a distância do centro é

r = R 2

Substituindo isso na expressão para o campo gravitacional dentro da esfera

g ' = G M R 3 r

g ' = G M R 3 R 2

g ' = G M 2 R 2

Passo 3

Agora a gente compara esse valor com g .

A aceleração na superfície é:

g = G M R 2

Calculando a razão entre essa expressão e a expressão que achamos para g ' , temos:

g ' g = G M 2 R 2 G M R 2

Simplificando

g ' g = 1 2 1

g ' = 1 2 g

Achamos a relação entre as duas. Nossa resposta é a letra c 😊

Resposta

Letra (c).

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