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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 101

As catapultas existem há milhares de anos e eram historicamente utilizadas para lançar de tudo, de pedras a cavalos. Durante uma batalha onde hoje fica a Bavária, artilheiros criativos dos clãs germânicos unidos lançaram gigantescos spaetzle (uma receita alemã de massa) de suas catapultas contra uma fortificação romana cujos muros tinham 8,5 m de altura. As catapultas lançaram os projéteis de spaetzle de uma altura de 4,00 m acima do chão e de uma distância de 38,0 m dos muros da fortificação, a um ângulo de 60,0 graus acima da horizontal. Se os projéteis deveriam atingir o topo do muro, espalhando massa sobre os soldados romanos que o quarneciam, (a) qual era a rapidez de lançamento necessária? (b) Quanto tempo os spaetzle permaneciam no ar? (c) Com que rapidez os projéteis atingiam o muro? Ignore a resistência do ar.

Passo 1

E aí galera, tubo bem? Então... Esse é um exercício de movimento de projéteis e pra fazer esse tipo de questão é bom tentar visualizar direitinho. Então fiz esse esboço pra gente visualizar juntos:

O problema diz que a catapulta lança o material a 4 metros do chão e atinge a muralha de 8,5 m no topo. E aí nos pergunta qual a rapidez de lançamento necessária. Essa rapidez de lançamento é só a velocidade inicial do movimento, o nosso v 0 .

Agora que já sabemos o que a questão quer ficou mais fácil, hein. Vamos lá então...

Olha essa outra imagem de um típico movimento de projéteis ou movimento oblíquo:

Nessa imagem fica claro que nossa velocidade pode ser decomposta em uma velocidade v 0 x e v 0 y caracterizando um movimento na horizontal e outro na vertical. O movimento da horizontal (em x) não possui aceleração, ou seja, ela é zero. Então o movimento é uniforme. Por isso para resolver o problema usaremos:

x t = x 0 + v 0 x ⋅ t

Onde v 0 x = v 0 ⋅ c o s θ 0

Na vertical, como a aceleração é a gravidade, o movimento é acelerado. Por isso podemos usar as equações:

  • y t = y 0 + v 0 y ⋅ t - 1 2 g ⋅ t 2
  • v y = v 0 y - g ⋅ t
  • v y 2 = v 0 y 2 - 2 ⋅ g ⋅ ∆ y

Onde v 0 y = v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0

Como na questão não nos foi dado o tempo do movimento então podemos fazer manipulações com as equações pois o tempo em x é o mesmo em y.

t = x ( t ) - x 0 v 0 x  

y t = y 0 + v o y ⋅ x t - x 0 v 0 x - 1 2 g ⋅ x t - x 0 v 0 x 2

Substituindo as componentes v 0 x = v 0 ⋅ c o s θ 0 e v 0 y = v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0 temos:

y t = y 0 + v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0 ⋅ x t - x 0 v 0 ⋅ c o s θ 0 - 1 2 g ⋅ x t - x 0 v 0 ⋅ c o s θ 0 2

y t = y 0 + ( x t - x 0 ) ⋅ v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0 v 0 ⋅ c o s θ 0 - 1 2 g ⋅ x t - x 0 v 0 ⋅ c o s θ 0 2

y t = y 0 + ( x t - x 0 ) ⋅ t a n ⁡ θ 0 - 1 2 g ⋅ x t - x 0 v 0 ⋅ c o s θ 0 2

Agora é só substituir os dados que a questão nos deu:

  • y t = 8,5   m
  • y 0 = 4   m
  • x t = 38   m
  • x 0 = 0
  • θ 0 = 60 °
  • g = 9,81   m / s 2

8,5 = 4 + 38 - 0 ⋅ tan ⁡ 60 ° - 1 2 ⋅ 9,81 ⋅ 38 - 0 v 0 ⋅ cos ⁡ 60 ° 2

Isolando v 0 temos :

v 0 = 38 cos ⁡ 60 ° ⋅ g   2 ⋅ 38 ⋅ tan ⁡ 60 ° - 4,5  

Resolvendo essa continha vamos encontrar v 0 = 21,5   m / s

Passo 2

A questão também nos pede o tempo que o spaetzle permanece no ar. Como já descobrimos a velocidade inicial então fica fácil. É só jogar na equação que isolamos o tempo:

t = x ( t ) - x 0 v 0 x  

t = x t - x 0 v 0 ⋅ cos ⁡ 60 °

t = 38 - 0 21,5 ⋅ cos ⁡ 60 °  

Resolvendo encontramos t = 3,535   s .

Passo 3

Por último mas não menos importante a questão nos pede a velocidade com que o projétil atinge o muro.

Não precisa se desesperar jovem... É só achar a velocidade em y no instante em que o projétil atinge o muro e relacionar com a velocidade em x para acharmos a resultante.

Bem assim:

v y = v 0 y - g ⋅ t

v y = v 0 ⋅ sin ⁡ 60 ° - g ⋅ t

v y = 21,5 ⋅ s e n   60 ° - 9,81 ⋅ 3,535

Temos que v y =   - 16,06   m / s

v x = v 0 x = v 0 ⋅ cos ⁡ 60 °

Temos que v x = 10,75   m / s

Então:

v = v x 2 + v y 2

v = ( 10,75 ) 2 + - 16,06 2

v = 19,3   m / s

Resposta

a )   v 0 = 21,5   m / s

b )   t = 3,535   s

c )   v = 19,3   m / s

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