O chute de um jogador de futebol americano imprime à bola uma velocidade inicial de 25   m / s . Quais são (a) o menor e (b) o maior ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal a partir de um ponto situado a 50   m da meta,cujo travessão está 3,44   m acima do gramado?

Passo 1

Galera, é sempre importante escolher um ponto de origem do problema que facilite nossa vida , nesse caso ,vamos escolher como origem o ponto onde a bola foi chutada e calcular o ângulo inicial θ 0 para que y   > 3,44   m quando x   =   50   m . As equações do movimento da bola são :

x = v 0 cos ⁡ θ 0 . t

y = v 0 sen ⁡ θ 0 . t - g t 2 2

Logo , temos que :

t = x v 0 cos ⁡ θ 0

Substituindo esse valor na segunda equação , obtemos que :

y = x . tan ⁡ θ 0 - g x 2 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ 0

Passo 2

Poderíamos resolver essa equação por tentativa e erro, ou seja, experimentar vários valores de θ 0 até encontrar os limites superior e inferior dos valores de θ 0 que atendem às exigências do problema. Já deu pra perceber que esse jeito dá trabalho , né? Entretanto, uma pequena manipulação permite obter uma solução algébrica para a equação. Usando a identidade trigonométrica 1 cos 2 ⁡ θ 0 ≡ 1 + tan 2 ⁡ θ 0 , obtemos :

1 2 . g x 2 v o 2 . tan 2 ⁡ θ 0 -   x . tan ⁡ θ 0 + y + 1 2 . g x 2 v 0 2 = 0

que é uma equação do segundo grau em tan ⁡ θ 0   . Para facilitar os cálculos, definimos uma nova constante :

c =   1 2 . g x 2 v o 2 = 1 2 . 9,8 m s 2 . 50   m 2 25   m s 2 = 19,6   m  

Nesse caso a equação do segundo grau se torna :

c . tan 2 ⁡ θ 0 - x . tan ⁡ θ 0 + y + c = 0

Agora ficou mais fácil , né? Equações de segundo grau são tranquilas de resolver .

Passo 3

As soluções da equação achada acima são :

tan ⁡ θ 0 = x ± x 2 - 4 y + c c 2 c = 50 m ± 50 m 2 - 4 3,44   m + 19,6 m 19,6 39,2   m

As duas soluções são tan ⁡ θ 0 = 1,95 e tan ⁡ θ 0 = 0 , 605 . Os ângulos correspondentes no primeiro quadrante são θ 0 = 63 ° e θ 0 = 31 ° . Dessa forma :

O menor ângulo é θ 0 = 31 ° .

O maior ângulo é θ 0 = 63 ° .

Tranquilo, galera??? Bora resolver mais questões então!!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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