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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 41.Problemas - Ex. 51

Colocamos na presença de um campo magnético oreientado ao longo do eixo O z um grande número de átomos de hidrogênio ocupando estados 1s. Suponha que os átomos estejam em equilíbrio térmico na temperatura ambiente T = 300   K . De acordo com a distribuição de Boltzmann (Seção 38.6), qual é a razão entre o número de átomos no estado m s = 1 / 2 e o número de átomos no estado m s = - 1 / 2 quando o módulo do campo magnético é

a) igual a 5,00 ⋅ 10 - 5 T (aproximadamente igual ao campo magnético da Terra)?

b) 0,500   T ?

c) 5,00   T ?

Passo 1

A relação de acordo com a distribuição de Boltzmann é dada por:

n 1 n 0 = e - E 1 - E 0 / k T

Onde 1 corresponde ao estado com maior energia e 0 corresponde ao estado de menor energia.

A interação de energia com o campo magnético é:

U = - μ z B = 2,00232 e ℏ 2 m m s B

Assim temos que a relação de Boltzmann para m s = 1 / 2 e m s = - 1 / 2 , fica:

n 1 / 2 n - 1 / 2 = e - U 1 / 2 - U - 1 / 2 / k T

Onde o termo que está dentro do parênteses no expoente é:

U 1 / 2 - U - 1 2 = 2,00232 e ℏ 2 m B 1 2 - - 1 2 = 2,00232 μ B B

Passo 2

a) Agora sabemos todos os valores então basta substituilos para calcular a razão do numero de átomos para cada campo magnético.

B = 5,00 ⋅ 10 - 5   T

n 1 / 2 n - 1 / 2 = e - 2,00232 μ B B / k T

n 1 / 2 n - 1 / 2 = e - 2,00232 9,274 ⋅ 10 - 24 A m 2 ( 5,00 ⋅ 10 - 5   T ) / ( 1,381 ⋅ 10 - 23   J / K ) ( 300   K )   = 0,99999978

Passo 3

b) Fazendo os mesmos passos do item (a):

  B = 0,500   T

n 1 / 2 n - 1 / 2 = e - 2,00232 μ B B / k T

n 1 / 2 n - 1 / 2 = e - 2,00232 9,274 ⋅ 10 - 24 A m 2 ( 0,5   T ) / ( 1,381 ⋅ 10 - 23   J / K ) ( 300   K )   = 0,9978

Passo 4

c) Fazendo os mesmos passos do item (a):

  B = 5 , 00   T

n 1 / 2 n - 1 / 2 = e - 2,00232 μ B B / k T

n 1 / 2 n - 1 / 2 = e - 2,00232 9,274 ⋅ 10 - 24 A m 2 ( 5 , 00   T ) / ( 1,381 ⋅ 10 - 23   J / K ) ( 300   K )   = 0,9 78

Podemos concluir destes resultados que para campos pequenos, a separação de energia entre os dois estados de rotação é muito menor e os estados são igualmente preenchidos. Para campos grandes, o espaçamento de energia é grande o suficiente para que haja um pequeno excesso de átomos no estado inferior.

Resposta

a)   n 1 / 2 n - 1 / 2 = 0,99999978

b)   n 1 / 2 n - 1 / 2 = 0,9978

c) n 1 / 2 n - 1 / 2 = 0,978

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