Considere um objeto que está preso a um pistão que oscila horizontalmente. O objeto se move com velocidade dada por v = B sen ⁡ ω t , onde B e ω são constantes e ω está em s - 1 . (a) Explique porque B é igual à velocidade máxima v m á x á . (b) Determine a aceleração do objeto como uma função do tempo. A aceleração é constante? (c) Qual é a magnitude da aceleração máxima em termos de ω e v m á x á . (d) Em t = 0 , a posição do objeto é igual x 0 . Determine a posição como função do tempo em termos de t , ω , x 0 e v m á x á .

(a) v m á x = B á .(b) a t = B ω cos ⁡ ( ω t ) .(c) a m á x = ω v m á x á á .(d) x t = v m á x ω 1 - cos ⁡ ω t + x 0 á .

Enunciado

(a) O enunciado diz que a velocidade é dada pela seguinte função:

Nós sabemos que a função varia apenas no intervalo , ou seja, é o maior valor que ela pode assumir.

Então a velocidade máxima acontece quando , e então:

Se for negativo, então a velocidade máxima acontece parra .

(b) Para determinar a aceleração precisamos lembrar da seguinte relação:

E então:

E usando a regra da cadeia para resolver essa derivada, ficamos com:

E então a aceleração não é constante.

E lembrando que , podemos escrever que:

(d) Agora queremos achar a função da posição , para isso podemos integrar a função da velocidade que foi dada no enunciado:

E vamos usar a condição inicial, de que , para ajustar a constante:

E então a constante é:

E a função da velocidade é:

Substituindo :

(a) .

(b) .

(d) .