Um corpo com forma de anel fino possui raio a e massa M . Uma esfera uniforme de raio R e massa m é colocada com seu centro situado a uma distancia x à direita do centro do anel, sobre a linha que une os centros perpendicular ao plano do anel (Figura 12.35). Qual é a força gravitacional que a esfera exerce sobre o corpo em forma de anel? Mostre que o seu resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que a .

Passo 1

O cálculo direto da força que a esfera exerce sobre o anel está um pouco mais envolvido que o

cálculo da força que o anel exerce na esfera. Essas forças são iguais em magnitude, mas opostas em direção, então será suficiente fazer o último cálculo. Por simetria, a força na esfera estará ao longo do eixo do anel na Figura 12.35 do livro, em direção ao anel.

Divida o anel em elementos infinitesimais com massa d M .

Passo 2

Cada elemento de massa d M do anel exerce uma força de magnitude

G m d M a 2 + x 2

na esfera, e o componente x dessa força é

G m d M a 2 + x 2   x a 2 + x 2 = G m d M x ( a 2 + x 2 ) 3 / 2 .

Portanto, a força na esfera é

G m M x a 2 + x 2 3 / 2 ,

na direção -x. A esfera atrai o anel com uma força da mesma magnitude.

Resposta

Como x ≫ a   o denominador se aproxima x 3 e F → G M m x 2 , como esperado.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados