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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 79

Uma espaçonave de 3000 kg descreve uma órbita circular a uma altura de 2000 km acima da superfície de Marte. Qual é o trabalho realizado pelos motors da espaçonave para transportá-la até uma órbita circular com raio igual a 4000 km?

Passo 1

Eaí galera, aqui vamos aplicar a conservação de energia e resolver para W o u t r o . Somente r = h + R T   é dado, então usaremos a equação

v = G m T r

para relacionar r e v .

Passo 2

A conservação de energia é dada por:

K 1 + U 1 + W o u t r a = K 2 + U 2

U 1 = - G m M m r 1

onde m M é a massa de Marte e r 1 = R M + h , onde R M é o raio de Marte e

h = 2000 × 10 3   m

U 1 = - ( 6,673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 / k g 2 )   6,42 × 10 23   k g 3000   k g 3,40 × 10 6   m + 2000 × 10 3   m = - 2.380 × 10 10   J

Passo 3

U 2 = - G m M m r 2 ,

onde r 2 é o novo raio da órbita.

U 2 = - ( 6.673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 / k g 2 )   6,42 × 10 23   k g 3000   k g 3,40 × 10 6   m + 4 000 × 10 3   m = - 1 . 737 × 10 10   J

Passo 4

Para a orbita circular:

v = G m M r

(com a massa de Marte em vez da massa da terra).

Assim, nos dá que:

K = 1 2 m v 2 = 1 2 m G m M r = 1 2 G m M m r ,

Então

K = - 1 2 U

K 1 = - 1 2 U 1 = + 1.190 × 10 10   J

E

K 2 = - 1 2 U 2 = + 8.685 × 10 9   J

Então,

K 1 + U 1 + W o u t r a = K 2 + U 2

Nos dá

W o u t r a = K 2 - K 1 + U 2 - U 1 = 8.685 × 10 9 J - 1.190 × 10 10 J + ( - 2.380 × 10 10 J + 1.737 × 10 10 J )

W o u t r a = - 3.215 × 10 9 J + 6.430 × 10 9 J = 3.22 × 10 9 J

Passo 5

Quando o raio da órbita aumenta, a energia cinética diminui e a energia potencial gravitacional

aumenta. K = - U / 2 , então E = K + U = - U / 2 e a energia total também aumenta (torna-se menos negativa). O trabalho positivo deve ser feito para aumentar a energia total do satélite.

Resposta

3.22 × 10 9 J

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