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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 5

Uma criança está empurrando um carrossel. O deslocamento angular do carrossel varia com o tempo de acordo com a relação θ t = γ t + β t 3 , onde γ = 0,4   r a d / s e β = 0,012   r a d / s 3 .

a) Calcule a velocidade angular do carrossel em função do tempo.

b) Qual é o valor da velocidade angular inicial?

c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea para t = 5 s e a velocidade angular média ω m z para o intervalo de tempo de t = 0   s até t = 5 s . Mostre que ω m z não é igual à média das velocidades angulares para t = 0 até t = 5 s e explique a razão dessa diferença.

Passo 1

Fala, galerinha! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a velocidade angular do carrossel em função do tempo, (b) o valor da velocidade angular inicial e (c) o valor da velocidade angular instantânea para t = 5   s .

Pra encontrar a velocidade angular, precisamos derivar a expressão do deslocamento angular dada por θ t = γ t + β t 3 , onde γ = 0,4   r a d / s e β = 0,012   r a d / s 3 .

Depois basta substituir os valores do tempo t para cada situação. Vamos lá!

Passo 2

a) Sabemos que a velocidade angular é a derivada da função posição angular em função do tempo. Então, vamos derivar θ ( t ) :

ω t = d θ d t

ω t = d d t γ t + β t 3

E obtemos:

ω t = γ + 3 β t 2

Como γ = 0,4 e β = 0,012 a velocidade angular fica assim ó:

ω t = 0,4 + 0,036 t 2

b) Para determinar a velocidade angular inicial basta fazer t = 0 na equação para ω :

ω 0 = 0,4   r a d / s

Passo 3

c) A velocidade instantânea em t = 5   s é determinada substituindo t = 5   s na equação para ω :

ω 5 = 0,4 + 0,036 5 2

ω 5 = 1,30 r a d / s

E a velocidade média é calculada sobre a média das posições nos instantes t = 0 e t = 5 e dividido por Δ t = 5 s . Usando a equação para θ ( t ) que foi dada no enunciado vamos ter:

ω m é d i o = Δ θ Δ t = θ 5 - θ 0 5 - 0

ω m é d i o = 0,4 ⋅ 5 + 0,012 ⋅ 5 3 -   0 5

ω m é d i o = 3,5 5

ω m é d i o = 0,7 r a d / s

Essa diferença se deve ao fato de que a velocidade média ela não aumenta linearmente com o tempo, mas sim quadraticamente! Então faz sentido que a velocidade média seja bem menor do que a velocidade instantânea.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a )   ω t = 0,4 + 0,036 t 2

b ) ω 0 = 0,4   r a d / s

c )   ω 5 = 1,30 r a d / s   ω m é d i o = 0,7 r a d / s

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