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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.4 - Ex. 27

Um elétron (cuja massa é m ) está confinado em um curral retangular de dimensões L x = L e L y = 2 L . (a) Quantas frequências diferentes o elétron e capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma transição entre dois níveis que estão entre os cinco de menor energia? Que múltiplo de h 2 / 8 m L 2 corresponde (b) à menor, (c) à segunda menor, (d) à terceira menor, (e) à maior, (f) à segunda maior e (g) à terceira maior frequência?

Passo 1

A equação para os níveis de energia do elétron no curral é:

E n x , n y = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2

Como as dimensões do poço são L x = L e L y = 2 L :

E n x , n y = h 2 8 m n x 2 L 2 + n y 2 4 L 2

O enunciado nos pede o resultado em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 , vamos então multiplicar e dividir o lado direito por L 2 :

E n x , n y = h 2 8 m L 2 L 2 n x 2 L 2 + n y 2 4 L 2

E passar h 2 8 m L 2 para a esquerda:

E n x , n y h 2 / 8 m L 2 = L 2 n x 2 L 2 + n y 2 4 L 2 = n x 2 + 0,25 n y 2

Passo 2

(a) As frequências podem ser obtidas com a equação de variação de energia entre os níveis:

∆ E = h f

Ficamos com:

f = ∆ E h

Substituindo pela energia do curral:

f = h 8 m L 2 n x 2 + 0,25 n y 2

Para cada transição, ou seja, para cada diferença de energia entre os níveis, teremos um comprimento de associado. As frequências para cada um dos menores níveis de energia serão:

f 1,2 → 1,1 = 0,75 h 8 m L 2  

f 1,3 → 1,1 = 2,00  

f 2,1 → 1,1 = 3,00  

f 2,2 → 1,1 = 3,75

f 1,3 → 1,2 = 1,25  

f 2,1 → 1,2 = 2,25  

f 2,2 → 1,2 = 3,00  

f 2,1 → 1,3 = 1,00  

f 2,2 → 1,3 = 1,75  

f 2,2 → 2,1 = 0,75  

Os subíndices correspondem aos valores de n x e n y e as setas mostram a transição de um estado para outro. Além disso, as energias estão dadas em termos de múltiplos h 2 / 8 m L 2 , então a gente omitiu o termo h 8 m L 2 que estão multiplicando cada frequência. (Apenas na primeira que foi colocado).

Passo 3

(a) Isso mostra que o elétron é capaz de absorver ou emitir 10 frequências.

Passo 4

(b) E para respondermos as questões seguintes basta olharmos os valores que calculamos no Passo 2 de acordo com o que o enunciado pede, a menor frequência será:

f 1,2 → 1,1 = 0,75  

f 2,2 → 2,1 = 0,75  

Passo 5

(c) A segunda menor é:

f 2,1 → 1,3 = 1,00  

Passo 6

(d) A terceira menor:

f 1,3 → 1,2 = 1,25  

Passo 7

(e) A maior é:

f 2,2 → 1,1 = 3,75

Passo 8

(f) A segunda maior:

f 2,2 → 1,2 = 3,00  

f 2,1 → 1,1 = 3,00  

Passo 9

(g) E a terceira maior será:

f 2,1 → 1,2 = 2,25  

Resposta

a   10   f r e q u e n c i a s  

b     0,75

c   1,00

d   1,25

e   3,75

f   3,00

g   2,25

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