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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 62

A sua espaçonave, o Andarilho Errante, pousa no mistérioso planeta Mongo. Como engenheiro e cientista-chefe, você efetuaas seguintes medidas: uma pedra de massa igual a 2,50   k g jogada para cima a partir do solo retorna retorna ao solo em 8,0 s; a circunferência de Mongo no equador é 2,0 × 10 5 e não existe atmosfera significativa em Mongo. O comandante da nave, Capitão Confusão, pede as seguintes informações: a) Qual é a massa de Mongo? b) Se o Andarilho Errante entrar em uma órbita circular 30000   k m acima da superfície de Mongo, quantas horas a nave levará para completar a órbita?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Aqui vamos usar as medidas do movimento da rocha para calcular g M , o valor de g no Mongo. Então usaremos isso para calcular a massa de Mongo.

Para o navio,

F g = m a r a d e T = 2 π r v .

Tome + y para cima. Quando a pedra retorna ao solo, sua velocidade é de 12,0   m / s , para baixo.

g M = G m M R M 2 .

O raio do Mongo é:

R M = c 2 π = 2,00 × 10 8   m 2 π = 3,18 × 10 7 m .

A nave se move em uma órbita de raio

r = 3,18 × 10 7   m + 3,00 × 10 7   m = 6,18 × 10 7   m .

Passo 2

  1. Bom, nós temos que: v 0 y = + 12,0   m / s v y = - 12,0   m / s a y = - g M t = 8   s e usaremos a equação v y = v o y + a y t   que nos dá:

    2. - g M = v y - v o y t = - 12,0 m s - 12,0 m s 8   s

    ⇒ g M = 3,00 m s 2 .

    Assim,

    m M = g M R M 2 G = 3,00 m s 2 3,18 × 10 7 m 2 6,673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 / k g 2 = 4,55 × 10 25   k g

    Passo 3

  2. E para calcular o tempo, fazemos:

F g = m a r a d que nos dá:

G m M m r 2 = m v 2 r e v 2 = G m M r .

T = 2 π r v = 2 π r   r G m M = 2 π r 3 / 2 G m M

Substituindo os valores:

T = 2 π ( 6,18 × 10 7   m ) 3 / 2 6,673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 / k g 2 ) ( 4,55 × 10 25 k g )

⇒ T = 5,54 × 10 4 s = 15,4   h

Resposta

  1. 4,55 × 10 25   k g
  2. 15,4   h
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