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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 3

Demonstre que duas TL especiais sucessivas na mesma direção, com parâmetros β 1 ≡ V 1 / c e β 2 ≡ V 2 / c , equivalem a uma TL única, e calcule o parâmetro β correspondente. Relacione o resultado com a lei relativística de composição de velocidades.

Passo 1

Temos que uma TL na direção x equivale a:

x ' = γ x - V t

x ' = 1 1 - V 2 c 2 x - V t

Passo 2

Vamos agora fazer duas TL consecutivas. A primeira será:

x ' 1 = 1 1 - V 1 2 c 2 x - V 1 t

x ' 1 = 1 1 - β 1 2 x - V 1 t

Passo 3

Agora vamos fazer a outra TL. Lembrando que essa transformação é em x 1 .

x ' 2 = 1 1 - V 2 2 c 2 x ' 1 - V 2 t

x ' 2 = 1 1 - β 2 2 x ' 1 - V 2 t

Passo 4

Como conhecemos x 1 :

x ' 2 = 1 1 - β 2 2 1 1 - β 1 2 x - V 1 t - V 2 t

x ' 2 = 1 1 - β 2 2 1 1 - β 1 2 x - V 1 t - 1 - β 1 2 V 2 t

x ' 2 = 1 1 - β 2 2 1 - β 1 2 x - V 1 - 1 - β 1 2 V 2 t

x 2 = 1 1 - β 2 2 1 - β 1 2 x - 1 - 1 - β 1 2 V 2 V 1 V 1 t

Podemos então escrever 1 - 1 - β 1 2 V 2 V 1 V 1 = V :

x 2 = 1 1 - β 2 2 1 - β 1 2 x - V t

Precisamos agora encontrar o β .

Passo 5

Vamos agora reescrever o termo:

1 - β 2 2 1 - β 1 2 = 1 - V 1 2 c 2 1 - V 2 2 c 2

1 - β 2 2 1 - β 1 2 = 1 - V 1 2 c 2 - V 2 2 c 2 + V 1 2 c 2 V 2 2 c 2

Temos então que β é:

β 2 = V 1 2 + V 2 2 c 2 - V 1 2 V 2 2 c 4

β 2 = 1 c 2 V 1 2 + V 2 2 - V 1 2 V 2 2 c 2

β 2 = 1 c 2 - 1 V 1 2 V 2 2 c 2 - V 1 2 - V 2 2 + 1

β = 1 c V 1 2 + V 2 2 - V 1 2 V 2 2 c 2

Passo 6

Podemos então escrever nossa transformação como sendo:

x 2 = 1 1 - β 2 x - V t

que corresponde a uma única TL.

Resposta

β = 1 c V 1 2 + V 2 2 - V 1 2 V 2 2 c 2

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