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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 39.1 - Ex. 60

No referencial S, a aceleração de uma partícula é a i j k ˆ ˆ ˆ = ax + ay + azr. Derive expressões para os componentes de aceleração ax ', ay' e az 'da partícula no referencial S' que está se movendo em relação a S na direção x com velocidade v.

Passo 1

Fala aee!! Bora terminar esse capítulo!

Podemos avaliar as derivadas das Equações 39-19a, b, e c e 39-12 e calcular sua razão para chegar nas expressões para a x ' , a y ' e a z ' .

Da Equação 39-19a, temos a derivada:

d u x ' = d u x - v 1 - v u x c 2

Pela regra do quociente:

d u x ' = d u x 1 - v u x c 2 - - v c 2 d u x ( u x - v ) 1 - v u x c 2 2

d u x ' = d u x 1 - v u x c 2 + d u x v c 2 ( u x - v ) 1 - v u x c 2 2

Colocando d u x em evidência:

d u x ' = 1 - v u x c 2 + v c 2 ( u x - v ) 1 - v u x c 2 2 d u x

Fazendo a multiplicação:

d u x ' = 1 - v u x c 2 + v u x c 2 - v 2 c 2 1 - v u x c 2 2 d u x

d u x ' = 1 - v 2 c 2 1 - v u x c 2 2 d u x

Passo 2

Da equação 39-12:

d t ' = γ d t - v x c 2

d t ' = γ d t - v c 2 d x

d t ' = γ d t - γ v c 2 d x

Botando d t em evicêndia:

d t ' = γ - γ v c 2 d x d t d t

Como u x = d x d t :

d t ' = γ - γ v u x c 2 d t

Botando γ em evidência:

d t ' = γ 1 - v u x c 2 d t

Passo 3

Agora, vamos voltar para o d u x ' e dividir tudo por d t ' :

a x ' = d u x ' d t ' = 1 - v 2 c 2 1 - v u x c 2 2 d u x γ 1 - v u x c 2 d t

a x ' = 1 - v 2 c 2 γ 1 - v u x c 2 3 d u x d t

Como 1 - v 2 c 2 = γ - 2 e a x = d u x d t :

a x ' = 1 γ 3 δ 3 a x

Onde δ = 1 - v u x c 2 .

Isso para o x , para y e z , podemos usar o mesmo raciocínio!! Só pegar as expressões das transformações das velocidades, derivar e dividir por d t ' . Com isso, chegamos a:

a y ' = 1 γ 2 δ 2 a y + v u y γ 3 δ 3 c 2 a x

E:

a z ' = 1 γ 2 δ 2 a z + v u z γ 3 δ 3 c 2 a x

Beleza?? Só isso!

Resposta

a x ' = 1 γ 3 δ 3 a x

a y ' = 1 γ 2 δ 2 a y + v u y γ 3 δ 3 c 2 a x

E:

a z ' = 1 γ 2 δ 2 a z + v u z γ 3 δ 3 c 2 a x

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