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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 59

Deseja-se construir um capacitor portátil capaz de armazenar 250 kJ de energia. O capacitor escolhido é do tipo de placas paralelas com dielétrico. (a) Escolhendo-se um dos dielétricos, na Tabela 27-2, cujo valor da rigidez dielétrica tenha sido dado, determine o volume mínimo factível do capacitor. (b) Alguns capacitores modernos, com ótimos desempenhos e que podem armazenar 250 kJ de energia, têm volumes de 0,0870 m 3 . Supondo que o dielétrico usado tenha a mesma rigidez dielétrica que no item (a), qual deve ser sua constante dielétrica?

Passo 1

Fala galera, bora lá!

O campo elétrico entre as placas de um capacitor, carregado com carga q e preenchido com dielétrico k , vale:

E = q k ϵ 0 A

Resolvendo-se a equação acima para A e multiplicando-se ambos os membros por d , a distância de separação das placas, teremos:

A d = q V k ϵ 0 E 2

Reconhecendo-se que A d é o volume entre as placas e que q é o produto da capacitância C pela diferença de potencial entre as placas V , teremos:

A d = C V V k ϵ 0 E 2 = C V 2 k ϵ 0 E 2                                                                                                                     ( 1 )

A energia potencial acumulada no capacitor é dada por:

U = 1 2 C V 2

Logo,

C V 2 = 2 U                                                                                                                                               2

Substituindo-se a equação (2) na (1):

A d = 2 U k ϵ 0 E 2                                                                                                                                           3

Passo 2

Na condição-limite apresentada pelo problema (volume mínimo), o campo elétrico E corresponde à rigidez dielétrica suportada pelo material dielétrico. Como o volume A d é inversamente proporcional à constante dielétrica e à rigidez dielétrica, o capacitor de menor volume deverá ser construído pelo dielétrico que possua maior produto k E 2 . Na Tabela 27,2 (Pág. 101) citada no enunciado, a substância de maior produto k E 2 é a mica ( k = 5,4 , E = 160   k V / m m ). Logo:

A d = 2 250 × 10 3 5,4 8,85 × 10 - 12 160 × 10 6 2

A d = 0,408   m 3

Passo 3

Resolvendo-se a equação (3) abaixo para a constante dielétrica:

k = 2 U A d ϵ 0 E 2

Substituindo os valores.

k = 2 250 × 10 3 0,087 8,85 × 10 - 12 160 × 10 6 2

k = 25,4

Resposta

  1. A d = 0,408   m 3
  2. k = 25,4

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