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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 21

Os dias em Marte e na Terra têm quase a mesma duração. A massa da Terra é 9,35 vezes a de Marte, o raio da Terra é 1,88 vezes o de Marte e Marte está, em média, 1,52 vez mais afastado do Sol do que a Terra. O ano marciano é 1,88 vezes mais longo do que o terrestre. Suponha que ambos sejam esferas uniformes com orbitas circulares em torno do Sol, Estime a razão (Terra para Marte) entre (a) suas quantidades de movimento angular de spin, (b) suas energias cinéticas de spin, (c) suas quantidades de movimento angular orbital, e (d) suas energias cinética orbitais.

Passo 1

Essa questão é bem grande, então vamos item a item pra não se perder! Pra facilitar vamos considerar a Terra ( T )   e Marte ( M ) .

Passo 2

a) Inicialmente, queremos saber a razão entra os momento angulares!

Lembrete: L → = I ω →

L T L M = I T ⋅ ω T I M ⋅ ω M

Como os dias tem praticamente a mesma duração, podemos considerar que ω T ≈ ω M .

L T L M ≅ I T I M

Supondo esferico:

L T L M ≅ 2 5 M T r T 2 2 5 M M r M 2 = M T M M ⋅ R T R M 2

Substituindo os dados, temos:

→ L T L M ≅ 9,35 ⋅ 1,88 2 = 33

b)

Agora queremos saber a razão entre as energias cinéticas de spin!

Lembrete: K = L 2 2 I

K T K M = L T 2 / 2 I T L M 2 / 2 I M = L T L M 2 ⋅ I M I T

Do item (a), temos a razão dos momentos angulares e nesse mesmo item vemos o seguinte:

L T L M ≅ I T I M

Então as coisas vão ficar assim:

K T K M = L T L M 2 ⋅ L M L T = L T L M

Então fica igual ao item (a):

K T K M = L T L M ≅ 33

c)

Agora queremos saber a razão entre as quantidades de movimento angular orbital!

Lembrete: L → = I ω →

L T L M o r b = I T ⋅ ω o r b ,   T I M ⋅ ω o r b ,     M = M T ⋅ r T 2 M M ⋅ r M 2 ⋅ 2 π T T 2 π T M = M T M M ⋅ r T r M 2 ⋅ T M T T

Repara que aqui esse r é a distancia ao sol! Fazendo as contas, temos:

L T L M o r b = 9,35 ⋅ 1 1,52 2 ⋅ 1,88 ≅ 8

Passo 3

Agora vamos ao ultima item. Ufa!!

Por fim, queremos saber a razão entre as energias cinéticas orbitais. Então, precisamos calcular o momento de inerciar com relação ao sol!

Lembrete: K = I ⋅ ω 2 2 e ω = 2 π T

Logo,

K T K M = ( I T ⋅ ω T 2 ) / 2 ( I M ⋅ ω M 2 ) / 2 = I T I M ⋅ ω T ω M 2

Arrumando as coisas temos:

K T K M = M T ⋅ r T 2 M M ⋅ r M 2 ⋅ T M T T 2 = M T M M ⋅ r T r M 2 ⋅ T M T T 2

Fazendo as contas:

K T K M = 9,35 ⋅ 1 1,52 2 ⋅ 1,88 2 ≅ 14

Resposta

  1. L T L M ≅ 3 3

  2. K T K M ≅ 33

  3. L T L M o r b ≅ 8

  4. K T K M ≅ 14
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