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Enunciado

Física - Serway e Jewett - Física para cientistas e engenheiros - Vol1 - Ed: 1º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 57a

55 . A distância máxima da Terra ao Sol (no afélio) é de 1,521 × 10 11   m , e a distância de maior aproximação (no periélio) é de 1,471 × 10 11   m . A velocidade orbital da Terra no periélio é 3,027 × 10 4   m / s . Determine ( a ) a velocidade orbital da Terra no afélio e as energias cinética e potencial do sistema Terra-Sol ( b ) no periélio e ( c ) no afélio. ( d ) A energia total do sistema é constante? Explique. Ignore o efeito da Lua e de outros planetas.

Passo 1

Vem comigo detonar essa questão!

No movimento orbital da Terra ao redor do sol o momento angular deve ser conservado, então o momento angular no periélio tem que ser igual ao do afélio, com isso a gente pode calcular a velocidade da Terra no afélio, já que:

L = m r v

Para calcularmos a energia cinética nesses pontos, basta usarmos a equação da energia cinética já que vamos ter a velocidade da Terra e a massa dela já é conhecida.

Para a energia potencial Terra-Sol vamos usar a seguinte equação:

U = - G M m r

Vamos as constas!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) . Temos o seguinte:

M T r p v p = M T r a v a

Como queremos a velocidade no afélio, temos:

v a = r p v p r a

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

v a = ( 1,471 × 10 11 ) ( 3,027 × 10 4 ) 1,521 × 10 11

= 4,453 × 10 15 1,521 × 10 11

Assim temos que:

v a = 2,93 × 10 4   m / s

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

A energia cinética no periélio é dada por:

K p = M T v p 2 2

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

K p = 5,97 × 10 24 3,027 × 10 4 2 2

⇒ K p = 2,74 × 10 33   J

A energia potencial Terra-Sol vai ser dada por:

U p = - ( 6,67 × 10 - 11 ) ( 1,989 × 10 30 ) ( 5,97 × 10 24 ) ( 1,471 × 10 11 )

U p = - 7,92 × 10 44 1,471 × 10 11

Assim temos que:

U p = - 5,3 9 × 10 33   J

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) .

A energia cinética no afélio é dada por:

K a = M T v a 2 2

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

K a = 5,97 × 10 24 2,93 × 10 4 2 2

⇒ K p = 2 , 56 × 10 33   J

A energia potencial Terra-Sol vai ser dada por:

U a = - ( 6,67 × 10 - 11 ) ( 1,989 × 10 30 ) ( 5,97 × 10 24 ) ( 1,521 × 10 11 )

U a = - 7,92 × 10 44 1,521 × 10 11

Assim temos que:

U a = - 5 , 21 × 10 33   J

Passo 5

Agora por último o item ( d ) .

A energia total é dada por:

E = K + U

No periélio a energia total é dada por:

E = 2,7 4 × 10 33   J - 5,3 9 × 10 33   J = - 2,65 × 10 33   J

No afélio temos:

E = 2 , 56 × 10 33   J - 5 , 21 × 10 33   J = - 2,6 5 × 10 33   J

Temos que a energia é mesma no afélio e no periélio, então quer dizer que a energia total é constante.

Resposta

( a )

v a = 2,93 × 10 4   m / s

( b )

K p = 2,74 × 10 33   J

U p = - 5,39 × 10 33   J

( c )

K p = 2,56 × 10 33   J

U a = - 5,21 × 10 33   J

( d )

A energia total se conserva.

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