47 . Como um astronauta, você observa que um pequeno planeta é esférico. Após o pouso no planeta, você partiu, andando sempre em frente, e se encontra retornando à sua nave do lado oposto depois de completar uma volta de 25,0   k m . Você segura um martelo e uma pena de falcão a uma altura de 1,40   m , solta os dois, e observa que ambos caem junto à superfície em 29,2   s . Determine a massa do planeta.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para encontrarmos a massa do planeta vamos usar o seguinte:

g = G m r

Mas para isso temos que conhecer r e g . O enunciado diz que o astronauta percorre 25   k m = 25 × 10 3   m até completar a volta no planeta, como o planeta é esférico ele percorre o perímetro de um círculo, assim:

d = 2 π r

⇒ r = 25 × 10 3 2 π

O valor de g podemos encontrar usando a cinemática ao nosso favor, já que o astronauta faz um experimento no planeta. A distância percorrida pelo martelo e pela pena até o chão partindo do repouso, é dada por:

h = 1 2 g t 2

A partir disso podemos isolar g e calcular seu valor.

Vamos nessa então!

Passo 2

Vamos primeiro encontrar r , temos:

r = 25 × 10 3 2 π = 3979   m

Passo 3

Agora vamos encontrar g , temos:

h = 1 2 g t 2

⇒ g = 2 h t 2

Substituindo o que temos, ficamos com:

g = 2 1,4 ( 29,2 ) 2

⇒ g = 0,0033   m / s 2

Passo 4

Agora vamos atrás da massa do planeta, temos:

g = G m r

⇒ m = g r G

Substituindo os valores conhecidos, temos:

m = ( 0,0033 ) ( 3979 ) ( 6,674 × 10 - 11 )

⇒ m = 1,97 × 10 11   k g

Resposta

m = 1,97 × 10 11   k g

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