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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 37.Problemas adicionais - Ex. 61

Distancia temporal entre dois eventos. Os eventos A e B ocorrem nas seguintes coordenadas espaçotemporais nos referenciais da Fig. 37-25: no referencia S , ( x a , t a ) e ( x b , t b ) ; no referencial S ' , ( x a ' ,   t a ' ) e ( x b ' , t b ' ) . No referencial S , Δ t = t b - t a = 1,00   μ s e Δ x = x b - x a = 240   m . (a) Escreva uma expressão para Δ x ' em termos do parâmetro de velocidade β e dos dados do problema. Faça um gráfico de Δ x ' em função de β (b) para 0 ≤ β ≤ 0,01 e (c) para 0,1 ≤ β ≤ 1 . (d) Para que valor de β o valor de Δ x ' é nulo?

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos utilizar a Eq. 1’ da tabela 37-2, onde relacionamos a posição do evento no referencial S ' com o tempo e a posição no referencial S em função do fator β . Vamos também plotar os gráficos após termos a equação de Δ x ' em função de β e encontrar os valores para qual a função se anula.

Passo 2

  1. Vamos começar utilizando a equação mencionada no passo 1. Ela é da seguinte forma

    2. Δ x ' = γ ⋅ Δ x - β ⋅ c ⋅ Δ t

    Substituindo os valores dados no problema, temos que Δ t = 1,00   μ s , Δ x = 240   m e

    c = 2,998 × 10 8   m / s . Assim, a equação fica

    Δ x ' = γ ⋅ 240   m - β ⋅ 2,998 × 10 8   m / s ⋅ 1   μ s = γ ⋅ 240   - 299,8 ⋅ β   m

    Com γ variando com β da seguinte forma

    γ = 1 1 - β 2

    Passo 3

  2. Para plotarmos o gráfico, vamos analisar a equação. Temos que para valores muito pequenos de β , γ será aproximadamente 1. Dessa forma, temos que para o primeiro intervalo onde 0 ≤ β ≤ 0,01 a equação ficará como de primeiro grau, da forma

    3. Δ x ' ≈ 240   - 299,8 ⋅ β   m

    Passo 4

  3. Para esse novo intervalo, temos que a equação será do tipo

    4. Δ x ' = 1 1 - β 2 ⋅ 240 - 299,8 ⋅ β   m

    E para o intervalo dado, temos que a equação se comportará da seguinte forma

    Passo 5

  4. Para encontrarmos o valor de β para qual Δ x ' é nulo, temos que igualar a equação a zero. Assim, ficamos com

0 = γ ⋅ Δ x - β ⋅ c ⋅ Δ t

Temos que a única maneira dessa equação respeitar a igualdade é se

β = Δ x c ⋅ Δ t = 240 299,8 = 0,801

Resposta

a) Δ x ' = γ ⋅ 240   - 299,8 ⋅ β   m

d) β = 0,801

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